BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Chia đa thức bậc 4 cho tam thức bậc hai
- 02/12/2024
- 992 lượt xem
| Bài toán. Chia đa thức $P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ cho tam thức bậc hai $x^2+\alpha$. Viết nhị thức bậc nhất là dư của phép chia nói trên. |
| Ghi nhớ: Dư của phép chia nói trên là: $$(d-b\alpha)x+(a\alpha^2-c\alpha+e)$$ |
Áp dụng 1:
|
Vì $P(1)=2015 ⇔ a+b+c+d+e=2015$.
Ta sẽ đồng nhất hệ số của dư $(d-b\alpha)x+(a\alpha^2-c\alpha+e)$ với các dư $2x-1$ và $3x-1$.
Lần lượt thay $\alpha =1, 2$ vào hệ số bậc nhất của dư:
$$\left\lbrace\begin{array}{ll}d-b&=2\\ d-2b&=3\end{array} \right.
⇔ \left\lbrace\begin{array}{ll}b&=-1\\ d&=1\end{array} \right. $$
Bấm máy tính $d$ xuất ra trước và $b$ xuất ra sau, lần lượt lưu vào B và D.
Tiếp tục Lần lượt thay $\alpha =1, 2$ vào hệ số tự do của dư và $P(1)=2015$:
$$\left\lbrace\begin{array}{ll}a-c+e&=-1\\
4a-2c+e&=-1\\
a+c+e&=2015-b-d
\end{array} \right.
⇔ \left\lbrace\begin{array}{ll}a&=336\\
c&=1008\\
e&=671
\end{array} \right.
$$
lần lượt lưu vào A, C, E.
Nhập lên màn hình:
|
Cách không dùng dư của phép chia
|
|
Ta có: $P(x)=(x^2+1)(ax^2+bx+c)+2x-1=(x^2+2)(ax^2+dx+e)+3x-1\ \forall x$. $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x^4&x^3&x^2&x&\\ \hline a&b&c&&\\ \hline &&a&b&c\\ \hline &&&2&-1\\ \hline \end{array}\quad $ $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x^4&x^3&x^2&x&\\ \hline a&d&e&&\\ \hline &&2a&2d&2e\\ \hline &&&3&-1\\ \hline \end{array}$. Đồng nhất hệ số: $\left\lbrace\begin{array}{ll}b=d&(1)\\ c+a=e+2a&(2)\\ b+2=2d+3&(3)\\ c-1=2e-1&(4)\end{array} \right. $ Vì $P(1)=2015 ⇔ P(1)=2(a+b+c)+1$ nên $a+b+c=\dfrac{P(1)-1}{2}=1007$. Thay (2) vào (4): $c=2(c-a) ⇔ 2a-c=0$. |
lần lượt lưu vào A, B, C.
Vậy $P(x)=(x^2+1)(Ax^2+Bx+c)+2x-1$ 
Áp dụng 2:
|
Dư của phép chia là:
$$(d-b\alpha)x+(a\alpha^2-c\alpha+e)$$
Thay $\alpha =-1, \alpha =2$ lần lượt hệ số bậc nhất của dư:
$$\left\{\begin{array}{ll}
d+b&=0\\
d-2b&=3
\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}
b&=-1\\
d&=1
\end{array}\right.$$
lần lượt lưu vào B và D.
Thay $\alpha =-1, \alpha =2$ lần lượt hệ số tự do của dư và lưu ý $16a+8b+4c+2d+e=2019$:
$$\left\{\begin{array}{ll}
a+c+e&=0\\
4a-2c+e&=-1971\\
16a+4c+e&=2025
\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}
a&=3\\
c&=660\\
e&=-663
\end{array}\right.$$
lần lượt lưu vào A, C và E.
Có thể nhập trực tiếp hệ số và ẩn $x$ lên màn hình rồi tính giá trị khi $x=5$:
 |
About TS. Nguyễn Thái Sơn
