Giải bài thi HSG MTCT (THCS) Kiên Giang 2025

Cách 1:
 

Cách 2: Làm mất căn thức ở mẫu số, mỗi tử số là một hiệu, tổng của các hiệu triệt tiêu lẫn nhau. Kết quả:
 

 

 
Nhập phép tính và bấm $\fbox{SHIFT} \ \fbox{EXE}$
 
Nhập biểu thức và bấm $\fbox{SHIFT} \ \fbox{EXE}$ . Lấy phần nguyên $8$.
 
Liên tục bấm $\fbox{SHIFT} \ \fbox{EXE}$ và lấy phần nguyên cho đến khi dư bằng $0$ (nghĩa là kết quả là số nguyên) thì dừng:
 

 

 

Vậy ta có liên phân số $$\dfrac{20232024}{2025}=[9991;8,7,1,1,5]$$
Theo thứ tự của liên phân số này từ trái qua phải ta có $a, b, c, d, e, f$.
 

a) $$2x^3-x^2-18x+9=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x= -3\\ x=3 \\ x=\dfrac12\end{array}\right. $$
 

 

 
b) Lưu biểu thức $g(x)$ vào biến nhớ
 
Nhận thấy thương của phép chia $f(x)$ cho $g(x)$ là $\dfrac{1}{2}$ nên ta lưu biểu thức $f(x)$ vào biến nhớ
 

Vì $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ nên $$c=f(0), \quad b=\dfrac{f(1)-f(-1)-2}{2}, \quad a=\dfrac{f(1)+f(-1)-2c}{2}$$
 

Vậy $f(x)=x^3+\dfrac14x^2+\dfrac54x+\dfrac34$.

$$8x^3-y^2-2xy=0 \Leftrightarrow y=-x+\sqrt{x^2+8x^3} \quad \text{(vì}\ y>0)$$

Ta lập bảng giá trị cho hàm số $y=-x+\sqrt{x^2+8x^3}$ với $x=100, 101, 102, 103 \dots $
 
 

 
Vậy cặp số nguyên $(x;y)$ với $x$ nhỏ nhất có 3 chữ số thoả điều kiện là $\left\{\begin{array}{l}x=105\\ y=2940\end{array}\right.$.
 

Ta tìm các số $a, b$ sao cho $u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n \quad (n \geqslant 1)$ với $u_1=2 , u_2=3, u_3=22, u_4=103$.
 
Xét hệ phương trình $$\left\lbrace\begin{array}{l}3a+2b=22\\ 22a+3b=103\end{array} \right. $$

Vậy $$u_{n+2}=4u_{n+1}+5u_n\quad (n \geqslant 3), u_1=2, u_2=3.$$
 

b) Quy trình bấm phím tính $u_n$ và $S_n$ trên máy tính Casio fx-580VNX . Trên máy tính Casio fx-880BTG không còn hỗ trợ tính năng này, nó được thay bằng bảng tính.
 
Nhập lên màn hình:

 
Bấm $\fbox{CALC}$, khi máy tính hỏi x ta nhập $2$, hỏi B ta nhập $3$, hỏi A ta nhập $2$, hỏi C ta nhập 5:
 

Bấm $\fbox{=}$ liên tục cho đến khi thấy x $=15$ thì nhấn thêm $\fbox{=}$ ta được $u_{15}$
 
.
 

Bấm tiếp liên tục $\fbox{=}$

đến khi thấy x $=20$ bấm $\fbox{=}$ 2 lần thì được $S_{20}$
 

 

 
 

Xây dựng dãy số quy nạp (truy hồi) trên máy tính Casio fx-880BTG

1. Mở một bảng tính, nhập vào cột A các số nguyên liên tiếp từ 1 đến 20:
 
2. Nhập $u_1=2, u_2=3$ lần lượt vào $B_1, B_3$ , từ $B_3$ đến $B_{20}$ điền công thức:
 
, kết quả $u_{15}$ bằng
 
3. Đưa con trỏ đến $C_{20}$, nhập phép tính kết quả
 
lưu kết quả vào biến A sau đó ra $\fbox{HOME}$ .
 

Kết luận: $u_{15}=5086263022, \quad S_{20}=19868214925130$.
 

Câu 2. Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat{A}=52,84^o, \widehat{B}= \widehat{D}=90^o$, $AD=8,33\ \text{cm} ; AB=7,88 \ \text{cm}$. Tính độ dài các cạnh $CD, BC$.

Trong tam giác $ABD$ ta có: $$BD^2=AB^2+AD^2-2AB.AD.\cos \widehat{BAD}$$ Suy ra $BD=$ lưu vào A.

Ta tính góc $\widehat{ABD}$: Mở màn hình Solver, nhập phương trình
 
, ra lệnh giải phương trình, lưu nghiệm vào B:
 
Trong tam giác $BCD$ ta có: $\dfrac{CD}{\sin \widehat{DBC}}=\dfrac{BD}{\sin \widehat{DCB}}$.
 
Cũng trong màn hình Solver ta giải phương trình sau để tìm $CD$:
 

 
Bấm VARIABLE để tính góc $\widehat{BDC}$ lưu vào C
 
Trong tam giác $BC$ ta có: $\dfrac{BC}{\sin \widehat{BDC}}=\dfrac{BD}{\sin \widehat{DCB}}$.
 
Cũng trong màn hình Solver ta giải phương trình sau để tìm $BC$:
 

 
 

Ta tính $BD=\sqrt{8,33^2+7,88^2-2.8,33.7,88\cos(52,84^{\text{o}})}$ lưu vào A.   Đặt $CD=x ⇒ BC=\sqrt{x^2+AD^2-AB^2}\qquad $ lưu vào biến nhớ   (lưu ý $AC^2=BC^2+AB^2=AD^2+CD^2 ⇔ BC=\sqrt{CD^2+AD^2-AB^2}$)   Áp dụng Định lý Ptô-lê-mê cho tứ giác nội tiếp $ABCD$: $$CD.AB+BC.AD=AC.BD$$ $$7,88x+8,33\sqrt{x^2+B}=A\sqrt{8,33^2+x^2}\qquad (\text{A,B là biến nhớ})$$ Nhập phương trình sau vào Solver .   Giải phương trình ta có: $CD=$ và $BC=$   Lưu ý: cách làm này ít tính toán nhưng phải chứng minh/kiểm tra phương trình có nghiệm duy nhất.

Ta tìm 3 chữ số tận cùng của số $29^{2007}$, nghĩa là tìm dư của phép chia số $29^{2007}$ cho 1000.
 
Nhận xét: nên
$$29^{\varphi(1000)} \equiv 1 \ (\text{mod}\ 1000) ⇔ 29^{400} \equiv 1 \ (\text{mod}\ 1000)$$
 
(Vì nên $\varphi(1000)=$ . )
 
Ngoài ra nên
$$29^{2007} =\underbrace{(29^{400})^{5}}_{\equiv 1\ (\text{mod}\ 1000 )}.29^7$$
 
Ta có: nên 3 chữ số tận cùng của số $29^{2007}$ là $309$, do đó chữ số hàng trăm của

$29^{2007}$ là số $3$.
 
 

Có thể tham khảo:

Đặt $y=\overline{567abcda}$ khi đó $56700000 \leqslant y \leqslant 56799999$.
 

Suy ra $\sqrt{56700000} \leqslant \sqrt{y} \leqslant \sqrt{56799999}$
 

 
Đặt $x=\sqrt{y}$, vì $x$ là số nguyên nên $7530 \leqslant x \leqslant 7536$ và $y=f(x)=x^2$.
 
Quy trình bấm phím:
 
$\color{blue}\bullet$ Lập bảng giá trị cho hàm số $y=f(x)$ và chọn phạm vi của bảng:
 

 
$\color{blue}\bullet$ Duyệt 7 giá trị thuộc bảng với chữ số thứ tư bằng chữ số thứ tám. Trong bảng giá trị này ta xét các số $y$ dạng $\overline{567abcda}$ và có 3 kết quả thỏa yêu cầu bài toán:
 

 
$\color{blue}\bullet$ Vậy có 3 bộ chữ số $a, b, c, d$ là
$$0,0,9,0 \quad ; \quad 6, 1, 1,5 \quad ; \quad 1, 5, 9, 6$$
 

Cách tìm cũng là quy trình bấm phím.
 
1. Với $2000\leqslant n\leqslant 60000)$ thì $x$ là số nguyên thuộc đoạn $[44;98]$.
 

 
2. Lập bảng giá trị cho hàm số $n=f(x)=\dfrac{x^3-54756}{15}$ với $x \in [44;88]$ sau đó $x \in [89;98]$:
 

 
3. Ta được 4 giá trị cần tìm là $$5193\quad ; \quad 15516\quad ;\quad 31779\quad ;\quad 55332$$
 
 

Bài 5. Câu 1. Cho tam giác đều $ABC$ có độ dài cạnh là $a$. Lấy $A, B, C$ làm tâm vẽ các đường tròn có cùng bán kính $a$. Hãy tính diện tích gần gạch sọc, biết $a=14,032025\ \text{cm}$.   GIẢI   Ta có nhận xét: Phần gạch sọc gồm ba hình viên phân bằng nhau. Hình viên phân tạo bởi cung và dây cung $BC$ có diện tích bằng:$$S_{BC}=\pi.a^2\dfrac{60}{360}-\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$$

 

 
Vậy diện tích cần tìm là: $S=53,5086\ \text{cm}^2$
 

$S_{BNFC}=S_{BDC}-S_{NDF}$   $=\dfrac12S_{ABCD}-\dfrac13S_{ADF}=\dfrac12S_{ABCD}-\dfrac{1}{12}S_{ABCD}$

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).

Bài viết liên quan

Dùng bảng tính để phát hiện 3 chữ số tận cùng của số $(2n-1)!!\ (n \geqslant 16)$

2 tuần Trước

Phép giải tam giác: trung tuyến – đường cao (bài 2)

4 tuần Trước

Tìm dư của phép chia số $(a+\sqrt{b})^n+(a-\sqrt{b})^n\quad (n \geqslant 2025)$ cho $c$

06/10/2025

Lớp bồi dưỡng GV phụ trách đội tuyển HSGMT

14/09/2025

Tìm dư của phép chia số $\boldsymbol{(2+\sqrt5)^{2025}+(2-\sqrt5)^{2025}}$ cho $\boldsymbol{3456}$.

03/09/2025

Hệ phương trình đồng dư

30/08/2025