HSG Casio THCS

    Bài giải chính thức.   Gán $1,2526$ vào biến nhớ A   Ta nhận xét mỗi số hạng của tổng có dạng $\dfrac{1}{A^2-(2x+1)A+x(x+1)}\ ,\quad x=1,2,3\dots 99$.   Vậy tổng cần tìm sẽ bằng:       Đối chiếu với lời giải theo kiểu tổng telescoping Ta có: $\dfrac{1}{x^2-3x+2}=\dfrac{1}{(x-1)(x-2)}=\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1}{x-1}$   $\dfrac{1}{x^2-5x+6}=\dfrac{1}{(x-2)(x-3)}=\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{x-2}$ ……………………………………….     …

    Mở một bảng tính cột A ta đánh số từ 1 đến 32, gán $1+\sqrt3$ vào biến nhớ A và $1-\sqrt3$ vào biến nhớ B. Cột B ta điền công thức sau: $$B_1=A^{A_1}+B^{A_1}+1$$ phạm vi $B_1:B_{32}$.   Gán hai cơ số vào biến nhớ:   Dùng điền công thức để đánh số thứ …

Định lý. Nếu $a$ và $m$ nguyên tố cùng nhau (nghĩa là $\text{GCD}(a,m)=1$) thì $$a^{\varphi(m)} \equiv 1 \ (\text{mod}\ m).$$   $\varphi$ gọi là “hàm phi Euler”. $\varphi(m)$ được xác định như sau: $$\left\lbrace\begin{array}{ll}\varphi (m)=m-1 &\text{nếu}\ m \ \text{là số nguyên tố} \\ \varphi(m)=m\left[\dfrac{a_1-1}{a_1}\cdot \dfrac{a_2-1}{a_2}\cdots \dfrac{a_k-1}{a_k}\right] & \text{nếu $a=a_1^{n_1}\cdot a_2^{n_2}\cdot \cdots \cdot a_k^{n_k}$} \cdot\end{array} \right. …

Bài viết này dành riêng cho các thầy cô phụ trách đội tuyển THCS của các tỉnh Tây Ninh (cũ), Bình Dương và Bà Rịa-Vũng Tàu (cũ) là các địa phương lần đầu tham gia các kỳ thi HSG MTCT cấp tỉnh/Thành phố.   Thuật toán tìm chu kỳ của một số thập phân vô …

Bài toán. Cho tam giác $ABC$ có kích thước như trong hình vẽ. Trên cạnh $BC$ lấy điểm $M$ sao cho $MB=2MC$, gọi $H$ là chân đường cao kẻ từ $B$, giao điểm của $AM$ và $BH$ là $I$. Tính $IA, IB$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $IBM$.   Đặt $x=\dfrac{BM}{BC}=\dfrac23$. …

Bài toán. Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số dạng $\overline{ab}$ biết lũy thừa $5$ của số đó là số có 10 chữ số, chữ số hàng chục là $a$ và chữ số hàng đơn vị là $b$.   Giả sử số cần tìm là $10a+b$. Ta có $(b+10a)^5=b^5+5b^4.10a+\underbrace{10b^3(10a)^2+10b^2(10a)^3+5b(10a^4)+(10a)^5}_{\text{không chứa chữ …

    Bài giải chính thức.   Gán $1,2526$ vào biến nhớ A   Ta nhận xét mỗi số hạng của tổng có dạng $\dfrac{1}{A^2-(2x+1)A+x(x+1)}\ ,\quad x=1,2,3\dots 99$.   Vậy tổng cần tìm sẽ bằng:       Đối chiếu với lời giải theo kiểu tổng telescoping Ta có: $\dfrac{1}{x^2-3x+2}=\dfrac{1}{(x-1)(x-2)}=\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1}{x-1}$   $\dfrac{1}{x^2-5x+6}=\dfrac{1}{(x-2)(x-3)}=\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{x-2}$ ……………………………………….     …

    Mở một bảng tính cột A ta đánh số từ 1 đến 32, gán $1+\sqrt3$ vào biến nhớ A và $1-\sqrt3$ vào biến nhớ B. Cột B ta điền công thức sau: $$B_1=A^{A_1}+B^{A_1}+1$$ phạm vi $B_1:B_{32}$.   Gán hai cơ số vào biến nhớ:   Dùng điền công thức để đánh số thứ …

Định lý. Nếu $a$ và $m$ nguyên tố cùng nhau (nghĩa là $\text{GCD}(a,m)=1$) thì $$a^{\varphi(m)} \equiv 1 \ (\text{mod}\ m).$$   $\varphi$ gọi là “hàm phi Euler”. $\varphi(m)$ được xác định như sau: $$\left\lbrace\begin{array}{ll}\varphi (m)=m-1 &\text{nếu}\ m \ \text{là số nguyên tố} \\ \varphi(m)=m\left[\dfrac{a_1-1}{a_1}\cdot \dfrac{a_2-1}{a_2}\cdots \dfrac{a_k-1}{a_k}\right] & \text{nếu $a=a_1^{n_1}\cdot a_2^{n_2}\cdot \cdots \cdot a_k^{n_k}$} \cdot\end{array} \right. …

Bài viết này dành riêng cho các thầy cô phụ trách đội tuyển THCS của các tỉnh Tây Ninh (cũ), Bình Dương và Bà Rịa-Vũng Tàu (cũ) là các địa phương lần đầu tham gia các kỳ thi HSG MTCT cấp tỉnh/Thành phố.   Thuật toán tìm chu kỳ của một số thập phân vô …

Bài toán. Cho tam giác $ABC$ có kích thước như trong hình vẽ. Trên cạnh $BC$ lấy điểm $M$ sao cho $MB=2MC$, gọi $H$ là chân đường cao kẻ từ $B$, giao điểm của $AM$ và $BH$ là $I$. Tính $IA, IB$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $IBM$.   Đặt $x=\dfrac{BM}{BC}=\dfrac23$. …

Bài toán. Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số dạng $\overline{ab}$ biết lũy thừa $5$ của số đó là số có 10 chữ số, chữ số hàng chục là $a$ và chữ số hàng đơn vị là $b$.   Giả sử số cần tìm là $10a+b$. Ta có $(b+10a)^5=b^5+5b^4.10a+\underbrace{10b^3(10a)^2+10b^2(10a)^3+5b(10a^4)+(10a)^5}_{\text{không chứa chữ …