HSG Casio THCS

Bài toán. Tìm tổng các ước nguyên dương lẻ của số $1968260028$.   . Ta phân tích số $3347381$ ra thừa số nguyên tố. Việc phân tích này rất khó đối với học sinh trình độ THCS, vì vậy mời quý thầy cô phụ trách đội tuyển tham khảo lời giải dưới đây.   Có …

Cho $S=1^2+2^3+3^4+4^5+\dots +20^{21}$. Tìm dư của phép chia số $S$ cho $19$.     Nếu ta lấy tổng thì kết quả quá lớn, máy tính không thể ghi kết quả này vào bộ nhớ của nó được. Ta sẽ lấy tổng ít số hạng hơn và tìm dư của tổng này khi chia nó cho …

Cho dãy số $\qquad \qquad u_1=0, u_{n+1}=\dfrac{n(n+1)}{(n+2)(n+3)}(a_{n}+1)\quad \forall n \geqslant 1.$ Tính $a_9, a_{24}, a_{2022}$ và viết kết quả dưới dạng phân số tối giản.   Trước hết ta nhận xét rằng với học lực THCS, bài toán này chỉ tính được $u_{9}$ và $u_{24}$ (theo yêu cầu bài toán). Việc xây dựng số hạng …

Công thức. Cho tam giác $ABC$ biết độ dài cạnh $BC$, hai góc $\widehat{ABC} $ và $\widehat{ACB}$, Khi đó diện tích tam giác $ABC$ là: $$S=\dfrac{\dfrac12BC^2}{\dfrac{1}{\tan B}+\dfrac{1}{\tan C}}$$        a) Ta có: $\dfrac{BC}{\sin A}=2R $, suy ra $\widehat{BAC} =$ (lưu vào A).   Khi đó: $AB=\dfrac{BH}{\sin A}$ lưu vào B.   $AC=AH+HC=$ lưu …

Bài toán. Tìm dư của phép chia số $(a+\sqrt{b})^n+(a-\sqrt{b})^n$ cho $c$ ($a, b, c \in \mathbb{N^*}$). Áp dụng bằng số. Tìm dư của phép chia số $(3+\sqrt5)^{45}+(3-\sqrt5)^{45}$ cho $2026$.       Xét dãy số $u_n=(a+\sqrt{b})^n+(a-\sqrt{b})^n$. Ta có hệ thức quy nạp. $$\boldsymbol{u_n=Su_{n-1}-Pu_{n-2}}$$ với $S$ là tổng của hai cơ số (cụ thể là $2a$) …

Ta định nghĩa $$(2n-1)!!=1.3.5.7 \dots (2n-1)$$ Kết quả 3 chữ số cuối cùng của phép tính này có tính chất tuần hoàn với chu kỳ là 4 nên ta chỉ cần biết kết quả cho 13!! (chia cho 4 dư 1), 14!! (chia cho 4 dư 2),15!! (chia cho 4 dư 3),16!! (chia hết cho …

Bài toán. Tìm tổng các ước nguyên dương lẻ của số $1968260028$.   . Ta phân tích số $3347381$ ra thừa số nguyên tố. Việc phân tích này rất khó đối với học sinh trình độ THCS, vì vậy mời quý thầy cô phụ trách đội tuyển tham khảo lời giải dưới đây.   Có …

Cho $S=1^2+2^3+3^4+4^5+\dots +20^{21}$. Tìm dư của phép chia số $S$ cho $19$.     Nếu ta lấy tổng thì kết quả quá lớn, máy tính không thể ghi kết quả này vào bộ nhớ của nó được. Ta sẽ lấy tổng ít số hạng hơn và tìm dư của tổng này khi chia nó cho …

Cho dãy số $\qquad \qquad u_1=0, u_{n+1}=\dfrac{n(n+1)}{(n+2)(n+3)}(a_{n}+1)\quad \forall n \geqslant 1.$ Tính $a_9, a_{24}, a_{2022}$ và viết kết quả dưới dạng phân số tối giản.   Trước hết ta nhận xét rằng với học lực THCS, bài toán này chỉ tính được $u_{9}$ và $u_{24}$ (theo yêu cầu bài toán). Việc xây dựng số hạng …

Công thức. Cho tam giác $ABC$ biết độ dài cạnh $BC$, hai góc $\widehat{ABC} $ và $\widehat{ACB}$, Khi đó diện tích tam giác $ABC$ là: $$S=\dfrac{\dfrac12BC^2}{\dfrac{1}{\tan B}+\dfrac{1}{\tan C}}$$        a) Ta có: $\dfrac{BC}{\sin A}=2R $, suy ra $\widehat{BAC} =$ (lưu vào A).   Khi đó: $AB=\dfrac{BH}{\sin A}$ lưu vào B.   $AC=AH+HC=$ lưu …

Bài toán. Tìm dư của phép chia số $(a+\sqrt{b})^n+(a-\sqrt{b})^n$ cho $c$ ($a, b, c \in \mathbb{N^*}$). Áp dụng bằng số. Tìm dư của phép chia số $(3+\sqrt5)^{45}+(3-\sqrt5)^{45}$ cho $2026$.       Xét dãy số $u_n=(a+\sqrt{b})^n+(a-\sqrt{b})^n$. Ta có hệ thức quy nạp. $$\boldsymbol{u_n=Su_{n-1}-Pu_{n-2}}$$ với $S$ là tổng của hai cơ số (cụ thể là $2a$) …

Ta định nghĩa $$(2n-1)!!=1.3.5.7 \dots (2n-1)$$ Kết quả 3 chữ số cuối cùng của phép tính này có tính chất tuần hoàn với chu kỳ là 4 nên ta chỉ cần biết kết quả cho 13!! (chia cho 4 dư 1), 14!! (chia cho 4 dư 2),15!! (chia cho 4 dư 3),16!! (chia hết cho …