HSG Casio THCS

Cho dãy số $\qquad \qquad u_1=0, u_{n+1}=\dfrac{n(n+1)}{(n+2)(n+3)}(a_{n}+1)\quad \forall n \geqslant 1.$ Tính $a_9, a_{24}, a_{2022}$ và viết kết quả dưới dạng phân số tối giản.   Trước hết ta nhận xét rằng với học lực THCS, bài toán này chỉ tính được $u_{9}$ và $u_{24}$ (theo yêu cầu bài toán). Việc xây dựng số hạng …

Công thức. Cho tam giác $ABC$ biết độ dài cạnh $BC$, hai góc $\widehat{ABC} $ và $\widehat{ACB}$, Khi đó diện tích tam giác $ABC$ là: $$S=\dfrac{\dfrac12BC^2}{\dfrac{1}{\tan B}+\dfrac{1}{\tan C}}$$        a) Ta có: $\dfrac{BC}{\sin A}=2R $, suy ra $\widehat{BAC} =$ (lưu vào A).   Khi đó: $AB=\dfrac{BH}{\sin A}$ lưu vào B.   $AC=AH+HC=$ lưu …

Bài toán. Tìm dư của phép chia số $(a+\sqrt{b})^n+(a-\sqrt{b})^n$ cho $c$ ($a, b, c \in \mathbb{N^*}$). Áp dụng bằng số. Tìm dư của phép chia số $(3+\sqrt5)^{45}+(3-\sqrt5)^{45}$ cho $2026$.       Xét dãy số $u_n=(a+\sqrt{b})^n+(a-\sqrt{b})^n$. Ta có hệ thức quy nạp. $$\boldsymbol{u_n=Su_{n-1}-Pu_{n-2}}$$ với $S$ là tổng của hai cơ số (cụ thể là $2a$) …

Ta định nghĩa $$(2n-1)!!=1.3.5.7 \dots (2n-1)$$ Kết quả 3 chữ số cuối cùng của phép tính này có tính chất tuần hoàn với chu kỳ là 4 nên ta chỉ cần biết kết quả cho 13!! (chia cho 4 dư 1), 14!! (chia cho 4 dư 2),15!! (chia cho 4 dư 3),16!! (chia hết cho …

Định nghĩa Cho $n$ là một số tự nhiên. ta ký hiệu $(2n-1)!!=1\times 3\times 5\times 7\times \ \cdots \ \times (2n-1)$   Ta tìm 3 chữ số tận cùng của số $31!! =1\times 3\times 5\times 7\times \cdots \times 31$ ứng với $n=16$: lưu vào A.   Mở một bảng tính và chỉ sử dụng 34 …

Cho tam giác nhọn $ABC$ có cạnh $BC=5,4 \text{cm}$, trung tuyến $BM=3,8 \text{cm}$ đường cao $AH=2,7 \text{cm}$. Tính $AB, AC\ \text{và}\ OC$.   Ta có: $BC^2+BA^2=2BM^2+\dfrac{AC^2}{2} ⇔ BA^2=-\dfrac{7}{25}+\dfrac{AC^2}{2}\quad (1)$. Vì $H$ nằm trên đoạn $BC$ nên $BH+CH=BC ⇔ \sqrt{AB^2-2,7^2}+\sqrt{AC^2-2,7^2}=5,4^2\quad (2)$ Thay (1) và (2) ta có phương trình $\sqrt{-\dfrac{7}{25}+\dfrac{x^2}{2}-2,7^2}+\sqrt{x^2-2,7^2}=5,4$   Giải phương trình tìm $AC$: …

Cho dãy số $\qquad \qquad u_1=0, u_{n+1}=\dfrac{n(n+1)}{(n+2)(n+3)}(a_{n}+1)\quad \forall n \geqslant 1.$ Tính $a_9, a_{24}, a_{2022}$ và viết kết quả dưới dạng phân số tối giản.   Trước hết ta nhận xét rằng với học lực THCS, bài toán này chỉ tính được $u_{9}$ và $u_{24}$ (theo yêu cầu bài toán). Việc xây dựng số hạng …

Công thức. Cho tam giác $ABC$ biết độ dài cạnh $BC$, hai góc $\widehat{ABC} $ và $\widehat{ACB}$, Khi đó diện tích tam giác $ABC$ là: $$S=\dfrac{\dfrac12BC^2}{\dfrac{1}{\tan B}+\dfrac{1}{\tan C}}$$        a) Ta có: $\dfrac{BC}{\sin A}=2R $, suy ra $\widehat{BAC} =$ (lưu vào A).   Khi đó: $AB=\dfrac{BH}{\sin A}$ lưu vào B.   $AC=AH+HC=$ lưu …

Bài toán. Tìm dư của phép chia số $(a+\sqrt{b})^n+(a-\sqrt{b})^n$ cho $c$ ($a, b, c \in \mathbb{N^*}$). Áp dụng bằng số. Tìm dư của phép chia số $(3+\sqrt5)^{45}+(3-\sqrt5)^{45}$ cho $2026$.       Xét dãy số $u_n=(a+\sqrt{b})^n+(a-\sqrt{b})^n$. Ta có hệ thức quy nạp. $$\boldsymbol{u_n=Su_{n-1}-Pu_{n-2}}$$ với $S$ là tổng của hai cơ số (cụ thể là $2a$) …

Ta định nghĩa $$(2n-1)!!=1.3.5.7 \dots (2n-1)$$ Kết quả 3 chữ số cuối cùng của phép tính này có tính chất tuần hoàn với chu kỳ là 4 nên ta chỉ cần biết kết quả cho 13!! (chia cho 4 dư 1), 14!! (chia cho 4 dư 2),15!! (chia cho 4 dư 3),16!! (chia hết cho …

Định nghĩa Cho $n$ là một số tự nhiên. ta ký hiệu $(2n-1)!!=1\times 3\times 5\times 7\times \ \cdots \ \times (2n-1)$   Ta tìm 3 chữ số tận cùng của số $31!! =1\times 3\times 5\times 7\times \cdots \times 31$ ứng với $n=16$: lưu vào A.   Mở một bảng tính và chỉ sử dụng 34 …

Cho tam giác nhọn $ABC$ có cạnh $BC=5,4 \text{cm}$, trung tuyến $BM=3,8 \text{cm}$ đường cao $AH=2,7 \text{cm}$. Tính $AB, AC\ \text{và}\ OC$.   Ta có: $BC^2+BA^2=2BM^2+\dfrac{AC^2}{2} ⇔ BA^2=-\dfrac{7}{25}+\dfrac{AC^2}{2}\quad (1)$. Vì $H$ nằm trên đoạn $BC$ nên $BH+CH=BC ⇔ \sqrt{AB^2-2,7^2}+\sqrt{AC^2-2,7^2}=5,4^2\quad (2)$ Thay (1) và (2) ta có phương trình $\sqrt{-\dfrac{7}{25}+\dfrac{x^2}{2}-2,7^2}+\sqrt{x^2-2,7^2}=5,4$   Giải phương trình tìm $AC$: …