BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Các phép tính với số $(a+\sqrt{b})^n+(a-\sqrt{b})^n\quad (a, b \in \mathbb{N})$.
- 05/08/2024
- 1,462 lượt xem
| Chúng ta biết máy tính Casio fx-880BTG có khả năng hiển thị đến 23 chữ số. Tuy nhiên đến chữ số thứ 23 thì kết quả không ổn định, nghĩa là sẽ có phép tính hiển thị đúng (nếu đầu vào là các phép tính đại số trên số nguyên) và có phép tính hiển thị sai (nếu dầu vào là các phép tính đại số các số vô tỉ). Theo một số phép thử, khả năng máy tính Casio fx-880BTG hiển thị chính xác đến 20 chữ số là đáng tin cậy. |
Ví dụ với một số nguyên có 17 chữ số:
 |
GIẢI
Sau đây ta xét các phép tính với số $(a+\sqrt{b})^n+(a-\sqrt{b})^n, \ n \ \text{“khá lớn”}$.
Sử dụng dãy số quy nạp
|
Nếu $u_n=(a+\sqrt{b})^n+(a-\sqrt{b})^n\ (a, b \in \mathbb{N})$ thì: $$\boldsymbol{u_1=2a, u_2=2(a^2+b), \quad u_{n}=Su_{n_1}-Pu_{n-2}\quad (n \geqslant 3)}$$ với $S, P$ lần lượt là tổng và tích các cơ số của luỹ thừa. |
| Áp dụng: Tìm dư của phép chia số $$u_{44}=(2+3\sqrt5)^{44}+(2-3\sqrt5)^{44}$$ cho $2024$. |
$$u_1=4,\ u_2=98,\ \quad u_n=4u_{n-1}+41u_{n-2}, \quad (n \geqslant 3).$$
Mở một bảng tính, nhập $u_1=4$ và $u_2=98$ vào $A_1$ và $A_2$, Từ $A_{3}$ đến $A_{44}$ ta điền công thức:
kết luận: Dư của phép chia số $A=(2+3\sqrt5)^{44}+(2-3\sqrt5)^{44}$ cho $2024$ là $522$.
Chia sẻ
About TS. Nguyễn Thái Sơn
