BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Số thập phân tuần hoàn và thực hiện phép chia có dư
- 05/03/2025
- 240 lượt xem
| Đặt vấn đề. Gần đây trong kỳ thi HSG MTCT THCS chúng ta hay gặp việc chuyển một phân số thành số thập phân tuần hoàn, sau đó tìm số thập phân thứ $a^n$ của số thập phân tuần hoàn đó. Bài toán tuy quen thuộc nhưng với tinh thần “trăm hay không bằng tay quen” chúng tôi mời quý thầy cô phụ trách đội tuyển và các em học sinh lớp 9 tham khảo bài giải của bài thi HSG MTCT THCS của tỉnh Vĩnh Long năm 2024. Bài toán như sau: |
| Bài 2. Tìm chữ số thập phân thứ $2023^{2024}$ sau dấu phẩy khi viết số $\dfrac{10000}{61}$ dưới dạng số thập phân. |
Tìm phần trước dấu phẩy của số $\dfrac{10000}{61}$ 
$163$.
Nhận thấy dư chỉ có 2 chữ số nên để bắt dầu tìm phần sau dấu phẩy ta thực hiện liên tiếp (nhấn OK nhiều lần):
$\dots \dots $
Như vậy $$\dfrac{10000}{61}=163,(93442622950819672131147540993608577377049180327868852459163)$$
phần tuần hoàn có $59$ chữ số.
Tiếp theo ta tìm dư của phép chia số $2023^{2024}$ cho $59$.
Nhận xét 
nên $2023^{\varphi(59)} \equiv 1\ (\text{mod}\ 59 )$. Vì $59$ là số nguyên tố nên $\varphi(59)=58$, nghĩa là:
$$2023^{58} \equiv 1 \ (\text{mod}\ 59)$$
Vậy $$2023^{2024}=\left(2023^{58}\right)^{34}\times 2023^{52}=\underbrace{\left(2023^{58}\right)^{34}}_{\equiv 1\ \text{mod}\ 59}\times \underbrace{2023^{2^2}}_{\equiv A}\times \underbrace{2023^{2^4}}_{\equiv B}\times \underbrace{2023^{2^5}}_{\equiv C}$$
Nhập số lên màn hình 
nhập công thức 
nhấn OK 2 lần lưu
kết quả vào A 
, nhấn thêm OK 2 lần nữa lưu kết quả vào B
, nhấn thêm 1 lần OK lưu kết quả vào C 
Kết quả: 
Vậy dư của phép chia là $3$ do đó chữ số thứ $2023^{2024}$ chính là chữ số thứ $3$ của phần tuần hoàn, tức là số $4$.
|
Cách làm khác. Nhận xét $$2023^{2024}=2023^{1024}\times 2023^{1000}=2023^{2^{10}}\times (((((2023^2)^2)^2)^5)^5)^5$$
Nhập |
.
lưu kết quả vào B.
Vậy dư của phép chia là $3$ do đó chữ số thứ $2023^{2024}$ chính là chữ số thứ $3$ của phần tuần hoàn, tức là số $4$.
About TS. Nguyễn Thái Sơn
