Toán THCS

Đặt vấn đề. Biểu thức $u_n=(a+b\sqrt{c})^n+(a-b\sqrt{c})^n$ với $n$ khá lớn sẽ khó để thực hiện phép chia có dư. Vì vậy ta chuyển nó thành dãy số quy nạp và thực hiện chia có dư từ thấp lên cao. Nếu $u_n=(a+b\sqrt{c})^n+(a-b\sqrt{c})^n\quad (a, b, c \in \mathbb{N})$ thì $$u_1= 2a, u_2=2(a^2+b^2c), \quad u_n=S.u_{n-1}-Pu_{n-2}\ \quad (n \geqslant …

Định nghĩa: Cho $n$ là một số nguyên dương, ký hiệu $\varphi(n)$ là số các số nguyên dương $a$ không vượt quá $n$ sao cho $a$ và $n$ nguyên tố cùng nhau, nghĩa là $\text{GCD}(a,n)=1$.   Ví dụ: $\varphi(10)=4$ vì số 10 có 4 số nguyên dương không vượt quá 10 và nguyên tố cùng …

  Bài toán Cho đa thức $P(x)$ có tất cả các hệ số đều là số tự nhiên, nhỏ hơn $5$, thỏa mãn điều kiện $P(5)=259$. Tính $P(2025)$.   Bài giải Giả sử đa thức cần tìm có dạng: $$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\quad \text{với}\ a_n \ne 0 .$$ Khai thác hai giả thiết: $$\left\lbrace\begin{array}{ll}a_i \in \mathbb{N}, a_i …

Bài toán. Ký hiệu $(2n-1)!! =1.3.5.7…(2n-1)$. Ta muốn tìm 3 chữ số cuối cùng của số $(2n-1)!!$ với $n$ là một số nguyên dương nào đó.   Nếu $n \leqslant 15$ máy tính Casio fx-880BTG cho biết ngay kết quả, ví dụ: Với $n \geqslant 16$ ta có thể thao tác trực tiếp trên máy …

Đặt vấn đề. Nếu cho một tam giác ABC biết độ dài ba cạnh ta có thể tính được nhiều chi tiết như ba góc, đường cao, trung tuyến, đường phân giác trong, vị trí của tâm tỉ cự v.v… Bây giờ cho một tam giác mà biết một số chi tiết của tam giác, …

Tìm 9 chữ số cuối cùng của tổng$$A=1+11+111+1111+\dots +\underbrace{1111…1111}_{2025\ \text{chữ số 1} }$$     Cách 1: cách làm “hàn lâm” (dành cho GV phụ trách)     $A=\dfrac19\left[9+99+999+9999+\dots +\underbrace{9999…9999}_{2025\ \text{chữ số 9} }\right]$ $A=\dfrac19\left[(10^1-1)+(10^2-1)+(10^3-1)+(10^4-1)+\dots +(10^{2025}-1)\right]$   $A=\dfrac19(B-2025)$, với $\qquad \quad \ \ B=10^1+10^2+10^3+10^4+\dots +10^{2025}\qquad (1)$ Ta có: $10B=10^2+10^3+10^4+\dots +10^{2025}+10^{2026}\quad (2)$ Lấy (2) trừ (1) …

Đặt vấn đề. Biểu thức $u_n=(a+b\sqrt{c})^n+(a-b\sqrt{c})^n$ với $n$ khá lớn sẽ khó để thực hiện phép chia có dư. Vì vậy ta chuyển nó thành dãy số quy nạp và thực hiện chia có dư từ thấp lên cao. Nếu $u_n=(a+b\sqrt{c})^n+(a-b\sqrt{c})^n\quad (a, b, c \in \mathbb{N})$ thì $$u_1= 2a, u_2=2(a^2+b^2c), \quad u_n=S.u_{n-1}-Pu_{n-2}\ \quad (n \geqslant …

Định nghĩa: Cho $n$ là một số nguyên dương, ký hiệu $\varphi(n)$ là số các số nguyên dương $a$ không vượt quá $n$ sao cho $a$ và $n$ nguyên tố cùng nhau, nghĩa là $\text{GCD}(a,n)=1$.   Ví dụ: $\varphi(10)=4$ vì số 10 có 4 số nguyên dương không vượt quá 10 và nguyên tố cùng …

  Bài toán Cho đa thức $P(x)$ có tất cả các hệ số đều là số tự nhiên, nhỏ hơn $5$, thỏa mãn điều kiện $P(5)=259$. Tính $P(2025)$.   Bài giải Giả sử đa thức cần tìm có dạng: $$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\quad \text{với}\ a_n \ne 0 .$$ Khai thác hai giả thiết: $$\left\lbrace\begin{array}{ll}a_i \in \mathbb{N}, a_i …

Bài toán. Ký hiệu $(2n-1)!! =1.3.5.7…(2n-1)$. Ta muốn tìm 3 chữ số cuối cùng của số $(2n-1)!!$ với $n$ là một số nguyên dương nào đó.   Nếu $n \leqslant 15$ máy tính Casio fx-880BTG cho biết ngay kết quả, ví dụ: Với $n \geqslant 16$ ta có thể thao tác trực tiếp trên máy …

Đặt vấn đề. Nếu cho một tam giác ABC biết độ dài ba cạnh ta có thể tính được nhiều chi tiết như ba góc, đường cao, trung tuyến, đường phân giác trong, vị trí của tâm tỉ cự v.v… Bây giờ cho một tam giác mà biết một số chi tiết của tam giác, …

Tìm 9 chữ số cuối cùng của tổng$$A=1+11+111+1111+\dots +\underbrace{1111…1111}_{2025\ \text{chữ số 1} }$$     Cách 1: cách làm “hàn lâm” (dành cho GV phụ trách)     $A=\dfrac19\left[9+99+999+9999+\dots +\underbrace{9999…9999}_{2025\ \text{chữ số 9} }\right]$ $A=\dfrac19\left[(10^1-1)+(10^2-1)+(10^3-1)+(10^4-1)+\dots +(10^{2025}-1)\right]$   $A=\dfrac19(B-2025)$, với $\qquad \quad \ \ B=10^1+10^2+10^3+10^4+\dots +10^{2025}\qquad (1)$ Ta có: $10B=10^2+10^3+10^4+\dots +10^{2025}+10^{2026}\quad (2)$ Lấy (2) trừ (1) …