Về bài toán Hòa và Bình

 
Học sinh giỏi: Ta nhận thấy tử là mẫu giống như hai lượng liên hợp nên chọn giải pháp : lấy tử cộng mẫu chia tử trừ mẫu.
 
$$\dfrac{3a-\sqrt{1-a^2}}{a+\sqrt{1-a^2}}=\dfrac{4a+0,4}{4a-0,4} ⇔ \dfrac{4a}{2a-2\sqrt{1-a^2}}=\dfrac{8a}{0,8} ⇔ 5(a-\sqrt{1-a^2})=1\quad \text{(lưu ý}\ a \ne 0). $$

 
$$⇔5\sqrt{1-a^2}=5a-1 ⇔ 50a^2-10a-24=0\qquad \text{(nhận xét}\ 5a-1>0 \ \text{do}\ a>0,4)$$
.
 

Vậy $a=0,8 \ \text{(km)} $.
 
 
Học sinh khá. nhân chéo xuống bằng nhân chéo lên

$$\dfrac{3a-\sqrt{1-a^2}}{a+\sqrt{1-a^2}}=\dfrac{4a+0,4}{4a-0,4} ⇔12a^2-1,2a-(4a-0,4)\sqrt{1-a^2}=4a^2+0,4a+(4a+0,4)\sqrt{1-a^2}$$
$$⇔ 8a^2-1,6a=8a\sqrt{1-a^2} ⇔ a-0,2=\sqrt{1-a^2}\qquad \text{(vì}\ a \ne 0).$$

vì $a-0,2>0$ bình phương hai vế và thu gọn ta có: $2a^2-0,4a-0,96=0$
 

Vậy $a=0,8 \ \text{(km)} $.

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).