THPT

Xây dựng một Dãy số quy nạp: Đặt $u_n=(a+\sqrt{b})^n+(a-\sqrt{b})^n, \quad (a, b \in \mathbb{N^*})$. Ta gọi $S=a+\sqrt{b}+a-\sqrt{b}=2a$ là tổng của hai cơ số và $P=\left(a+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{b}\right)=a^2-b$ là tích của hai cơ số. Khi đó ta có dãy số quy nạp: $$u_1=2a, u_2= 2(a^2+b), \ u_n=Su_{n-1}-Pu_{n-2}, \quad n \geqslant 3.$$   Bài tập tham khảo (chú ý …

Xét phương trình $a\cos^3x+b\cos^2x+c\cos x+d=0$. Giả sử phương trình bậc ba có 3 nghiệm $A, B, C$ (không bị loại), sắp thứ tự $\ C<B<A$. Trên đoạn $[0;2\pi]$ phương trình có 6 nghiệm (có tổng là $6\pi$) như trong hình. Nếu $C=-1$ thì 6 nghiệm suy biến thành 5 nghiệm và tổng thành $5\pi$.   …

Đặt vấn đề. Nhiều bài toán Hình học không gian được giải nhờ đưa vào một hệ trục tọa độ $Oxyz$ và việc tính toán dựa vào tọa độ Đề-các. Nếu trong mặt phẳng đáy chứa hệ trục tọa độ $Oxy$ thì bài toán sẽ không quá phức tạp (ví dụ, đáy là hình vuông, …

Cho tam giác $ABC$, ba đoạn $AM, BN, CP$ cắt nhau tại $I$. Ta định vị điểm $I$ bởi các tỉ số $u=\dfrac{BM}{BC}$, $v=\dfrac{CN}{CA}$. Theo định lý Ceva ta sẽ tính được tỉ số $k=\dfrac{AP}{AB}$ (nhưng không tính, vì kết quả phức tạp).     $AI=\dfrac{1-v}{1-v+uv}\sqrt{(1-u)AB^2+uAC^2-u(1-u)BC^2}$   $BI=\dfrac{u}{1-v+uv}\sqrt{(1-v)BC^2+vBA^2-v(1-v)AC^2}$   $$CI=\dfrac{1}{1-v+uv}\sqrt{uv(2uv-u-v+1)CA^2+(1-u)(1-v)(2uv-u-v+1)CB^2-uv(1-u)(1-v)AB^2}$$ Cả ba phân số đều …

Đặt vấn đề. Bài toán tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian là bài toán cơ bản, thường gặp trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi Tốt nghiệp phổ thông và kỳ thi HSG MTCT bậc THPT.  

CÔNG THỨC Hai đường tròn cắt nhau tại 2 điểm lần lượt có bán kính $R_1, R_2$ và khoảng cách giữa hai tâm $d$. Khi đó phần chung của hai hình tròn sẽ có diện tích là: $$S=R_1^2A+R_2^2B-\dfrac{d^2}{\cot A+\cot B}$$   trong đó $A=\arccos \left(\dfrac{d^2+R_1^2-R_2^2}{2dR_1}\right); B= \arccos \left(\dfrac{d^2+R_2^2-R_1^2}{2dR_2}\right)$ (đo bằng radian).         …

Xây dựng một Dãy số quy nạp: Đặt $u_n=(a+\sqrt{b})^n+(a-\sqrt{b})^n, \quad (a, b \in \mathbb{N^*})$. Ta gọi $S=a+\sqrt{b}+a-\sqrt{b}=2a$ là tổng của hai cơ số và $P=\left(a+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{b}\right)=a^2-b$ là tích của hai cơ số. Khi đó ta có dãy số quy nạp: $$u_1=2a, u_2= 2(a^2+b), \ u_n=Su_{n-1}-Pu_{n-2}, \quad n \geqslant 3.$$   Bài tập tham khảo (chú ý …

Xét phương trình $a\cos^3x+b\cos^2x+c\cos x+d=0$. Giả sử phương trình bậc ba có 3 nghiệm $A, B, C$ (không bị loại), sắp thứ tự $\ C<B<A$. Trên đoạn $[0;2\pi]$ phương trình có 6 nghiệm (có tổng là $6\pi$) như trong hình. Nếu $C=-1$ thì 6 nghiệm suy biến thành 5 nghiệm và tổng thành $5\pi$.   …

Đặt vấn đề. Nhiều bài toán Hình học không gian được giải nhờ đưa vào một hệ trục tọa độ $Oxyz$ và việc tính toán dựa vào tọa độ Đề-các. Nếu trong mặt phẳng đáy chứa hệ trục tọa độ $Oxy$ thì bài toán sẽ không quá phức tạp (ví dụ, đáy là hình vuông, …

Cho tam giác $ABC$, ba đoạn $AM, BN, CP$ cắt nhau tại $I$. Ta định vị điểm $I$ bởi các tỉ số $u=\dfrac{BM}{BC}$, $v=\dfrac{CN}{CA}$. Theo định lý Ceva ta sẽ tính được tỉ số $k=\dfrac{AP}{AB}$ (nhưng không tính, vì kết quả phức tạp).     $AI=\dfrac{1-v}{1-v+uv}\sqrt{(1-u)AB^2+uAC^2-u(1-u)BC^2}$   $BI=\dfrac{u}{1-v+uv}\sqrt{(1-v)BC^2+vBA^2-v(1-v)AC^2}$   $$CI=\dfrac{1}{1-v+uv}\sqrt{uv(2uv-u-v+1)CA^2+(1-u)(1-v)(2uv-u-v+1)CB^2-uv(1-u)(1-v)AB^2}$$ Cả ba phân số đều …

Đặt vấn đề. Bài toán tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian là bài toán cơ bản, thường gặp trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi Tốt nghiệp phổ thông và kỳ thi HSG MTCT bậc THPT.  

CÔNG THỨC Hai đường tròn cắt nhau tại 2 điểm lần lượt có bán kính $R_1, R_2$ và khoảng cách giữa hai tâm $d$. Khi đó phần chung của hai hình tròn sẽ có diện tích là: $$S=R_1^2A+R_2^2B-\dfrac{d^2}{\cot A+\cot B}$$   trong đó $A=\arccos \left(\dfrac{d^2+R_1^2-R_2^2}{2dR_1}\right); B= \arccos \left(\dfrac{d^2+R_2^2-R_1^2}{2dR_2}\right)$ (đo bằng radian).         …