BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Tìm dư của phép chia số $\boldsymbol{(2+\sqrt5)^{2025}+(2-\sqrt5)^{2025}}$ cho $\boldsymbol{3456}$.
- 03/09/2025
- 1,251 lượt xem
| các bạn đặt ra câu hỏi: Khi tìm dư của phép chia số $u_n=(2+\sqrt5)^{n}+(2-\sqrt5)^{n}, \quad (n=2025)$ cho $24$ thì do $24$ khá bé nên sự tuần hoàn của các giá trị $u_n$ phát hiện dễ dàng. Bây giờ nếu giả sử không chia cho $24$ mà chia cho một số khá lớn, ví dụ chia cho $3456$, gần như không phát hiện sự tuần hoàn của các $u_n$ thì lời giải sẽ như thế nào? |
Câu trả lời sẽ là: có thể giải bài toán với $n=2025$, nếu tăng thêm một bước, ví dụ $n=2026$ thì lại là vấn đề khác vì $2025$ khá đặc biệt $2025=25\times 3\times 3 \times 3\times 3$.
Trước hết khi $n=25$ thì dư của phép chia $u_n$ cho $3456$ là $868$.
$u_n=(2+\sqrt5)^{n}+(2-\sqrt5)^{n}$.
Suy ra $u_{n}^3=(2+\sqrt5)^{3n}+(2-\sqrt5)^{3n}+3(-1)^n\left[(2+\sqrt5)^{n}+(2-\sqrt5)^{n}\right]$.
Vậy $u_{3n}=u_n^3-3(-1)^nu_n$.
$u_{25}$ 
$u_{75}$ 
$u_{225}$ 
$u_{675}$ 
$u_{2025}$ 
Vậy dư của phép chia số $(2+\sqrt5)^{n}+(2-\sqrt5)^{n}$ với $n=2025$ cho $3456$ là: $292$ .
Chia sẻ
About TS. Nguyễn Thái Sơn
