BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Về bài toán tìm cực trị của hàm số $y=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2013}-1}$
- 08/10/2025
- 393 lượt xem
| Một bạn đọc đặt câu hỏi rất thú vị như sau: Em muốn hỏi bài toán dưới đây khi bấm máy casio 880. Xét hàm số $y=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2013}-1}$. Bấm máy tính Casio 880GTG để tìm nghiệm của đạo hàm. Nếu lúc vận hành gán $x=0$ khi dùng chức năng bộ giải pt thì được $x=2012,5$. |
Trước hết chúng ta cần phải biết nghiệm của phương trình $y’=0$ là $x=-2\sqrt{1012539}$ hay $x=2\sqrt{1012539}$. Nghiệm này do Thầy Sơn và XCAS hợp tác để giải, nghĩa là máy tính cầm tay không xuất ra được nghiệm này. máy tính chỉ có thể xấp xỉ nghiệm, mà đã xấp xỉ nghiệm thì phải chấp nhận sai số. Sai số càng bé, nghiệm xấp xỉ càng dễ được chấp nhận.
Nghiệm xấp xỉ dương duy nhất của phương trình là $x\approx 2012,4999378882\dots$.
Trên máy tính Casio fx-880BTG 
. Đây là nghiệm xấp xỉ với sai số khá nhỏ nên có thể sử dụng được.
Nếu ta thay giá trị nhập vào 
.
Tại sao xảy ra hiện tượng này và nếu thế thì ta chọn nghiệm nào?
1. Vì con số $2013$ quá lớn, nó làm cho việc lấy đạo hàm có kết quả phức tạp dẫn đến quá trình xấp xỉ phương trình $y’=0$ có sai số lớn.
Quá trình xấp xỉ nghiệm phụ thuộc vào giá trị ban đầu. Với $x=0$ máy tính xấp xỉ được nghiệm $x=2012,5$ rồi dừng vì nó “thấy” đạo hàm xấp xỉ bằng $0$. Với $x=2$ máy xấp xỉ được một nghiệm lớn hơn $x=2012,5$ một chút nên nó chưa dừng, bước thêm một bước nữa nó “thấy” $x=2012,2$ có đạo hàm xấp xỉ bằng $0$ nên nó dừng tại nghiệm thiếu chính xác.
Đây không là lỗi của máy tính, vì tất cả máy tính cầm tay hiện hành không có máy tính nào xấp xỉ được nghiệm duy nhất. Do đó giáo viên phụ trách đội tuyển chỉ cần giải thích cho học sinh hiểu. Ban tổ chức cuộc thi không nên cho một con số quá lớn (ở đây là $2013$). Nếu thay bằng một số phù hợp ví dụ $y=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+5}-1}$ (hợp lý), quá trình xấp xỉ luôn luôn xuất ra nghiệm duy nhất.
2. Nếu phải giải bài toán này thì ta chọn nghiệm nào (giả sử không biết nghiệm chính xác $x=2\sqrt{1012539}$)?
Bằng cách lập bảng cho đạo hàm $y’$ ta thấy đạo hàm luôn luôn bằng $0$ với mọi $x \in (2012;2013)$ nên “tất cả” đều là nghiệm. Chọn một “nghiệm” bất kỳ trong đó để tiếp tục bài toán, ví dụ tính khoảng cách từ điểm cực trị đến gốc tọa độ, kết quả sẽ thống nhất.
3. Có cách nào xuất ra nghiệm chính xác của phương trình $y’=0$ không? Tất nhiên là có, nhưng đó là lời giải tự luận, không phải là bài giải “Giải toán trên máy tính cầm tay”.
$y’=\dfrac{\sqrt{x^2+2013}-1-\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2+2013}}}{\left(\sqrt{x^2+2013}-1\right)^2}=\dfrac{2013-\sqrt{x^2+2013}}{\sqrt{x^2+2013}\left(\sqrt{x^2+2013}-1\right)^2}$
$y’=0 ⇔ x=\pm \sqrt{2013^2-2013} ⇔ x=\pm 2\sqrt{1012539}$.
About TS. Nguyễn Thái Sơn
