BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Tìm dư của phép chia số $(a+\sqrt{b})^n+(a-\sqrt{b})^n\quad (n \geqslant 2025)$ cho $c$
- 06/10/2025
- 839 lượt xem
| Lưu ý. Bài viết này dành cho giáo viên phụ trách đội tuyển để nâng cao trình độ chuyên môn, không dạy cho học sinh. Ngoài ra để bài toán không quá phức tạp ta chỉ xét khi $a^2-b=1$, ví dụ $(2+\sqrt3)^{2025}+(2-\sqrt3)^{2025}$, $(3+2\sqrt2)^{2026}+(3-2\sqrt2)^{2026}$ … và $c$ là số nguyên có liên quan đến năm thi 🙂 . |
| Ta xét bài toán: Tìm dư của phép chia số $(2+\sqrt3)^{2025}+(2-\sqrt3)^{2025}$ cho $2024$. |
Đặt $u_n=(2+\sqrt3)^{n}+(2-\sqrt3)^{n}$. Khi đó: $u_n^3=(2+\sqrt3)^{3n}+(2-\sqrt3)^{3n}+3\left[(2+\sqrt3)^{n}+(2-\sqrt3)^{n}\right]$. Vậy
$$\fbox{$u_{3n}=u_n^3-3u_n$}$$
$u_{25} \equiv 1340\ (\text{mod}\ 2024)$ 
Nhập phép tính 
Lần lượt nhấn OK liên tiếp 4 lần để có kết quả cho $u_{75}, u_{225}, u_{675}, u_{2025}$.
| Đón đọc. Tìm dư của phép chia số $(2+\sqrt3)^{2026}+(2-\sqrt3)^{2026}$ cho $2024$. |
Nhận xét: Giả sử $n>m$, ta có: $\fbox{$u_n.u_m=u_{n+m}+u_{n-m}$}$. Chú ý phép khai triển
$$\left[(a+\sqrt{b})^n+(a-\sqrt{b})^n\right]\times \left[(a+\sqrt{b})^m+(a-\sqrt{b})^m\right].$$
Vậy $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad u_{n+m}=u_{n}.u_{m}-u_{n-m}.$
Do đó: $u_{2026}=u_{2025}.u_1-u_{2024}$ và $u_{2024}=u_{1024}.u_{1000}-u_{24}$.
Vì $u_1=(2+\sqrt3)+(2-\sqrt3)=4$, $\boldsymbol{u_{2n}=u_n^2-2}$ và $1024=\underbrace{2\times 2\times 2 \times \dots \times 2}_{10\ \text{lần}}$ nên:
nghĩa là $\boldsymbol{u_{1024} \equiv 1338 \ (\text{mod}\ 2024)}$.
Ta có:
Suy ra $u_{125}=u_{75}.u_{50}-u_{25}$ 
$u_{1000}$ 
($125 \rightarrow 250 \rightarrow 500\rightarrow 1000$).
nghĩa là $\boldsymbol{u_{1000} \equiv 970 \ (\text{mod}\ 2024)}$.
Vậy $u_{2024}=u_{1024}.u_{1000}-u_{24}$ 
Dư của phép chia số $(2+\sqrt3)^{2024}+(2-\sqrt3)^{2024}$ cho $2024$ là $\boldsymbol{370}$.
Vậy ta có dãy số quy nạp $$\left\lbrace\begin{array}{l}u_{2024} \equiv 370 \ (\text{mod}\ 2024)\\
u_{2025} \equiv 372 \ (\text{mod}\ 2024)\\
u_n=4u_{n-1}-u_{n-2}\end{array} \right. $$
| Dư của phép chia số $(2+\sqrt3)^{2026}+(2-\sqrt3)^{2026}$ cho $2024$ là $\boldsymbol{1118}$. |
About TS. Nguyễn Thái Sơn
