Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện

Các số liệu (rườm rà) của bài này được lấy lại từ bài Các chi tiết của khối tứ diện để dễ đối chiếu kết quả.
 
Xây dựng công thức $$R=\dfrac{S}{6V}$$ từ định thức Caylay-Menger:
 

$S=\sqrt{\dfrac{\det A}{16}}$ với ${\boldsymbol{A}}=\left(\begin{array}{cc}2x&x+y-z\\x+y-z&2y
\end{array} \right) $ trong đó $$x=(SA.BC)^2, y=(SB.AC)^2, z=(SC.AB)^2$$

$V=\sqrt{\dfrac{\det B}{288}}$ với ${\boldsymbol{B}}=\left(\begin{array}{ccc}2A&A+B-F&A+C-E\\A+B-F&2B&B+C-A\\
A+C-E&B+C-A&2C
\end{array} \right) $ trong đó:
\begin{array}{ccc}A=SA^2\ ; &B=SB^2\ ; &C=SC^2\\
D=BC^2\ ; &E=AC^2\ ; &AB^2\end{array}

Khi đó $$R=\sqrt{\dfrac{\det A}{2\det B}}$$
 

Sau đây ta nhập liệu vào 9 biến nhớ của máy tính như sau:

Nhập số vào ma trận A:
 

Nhập số vào ma trận B:
 

Vậy $R=$
 

Sở dĩ kết quả bị lệch (chữ số thập phân thứ 8) so với bài Các chi tiết của khối tứ diện do số liệu nhập vào của hai lần giải khác nhau, cụ thể giá trị $S$ khác nhau. Ở bài viết cũ thầy Sơn lấy lại số liệu trên màn hình (về nhà mới phát hiện tính nhầm), ở bài viết mới thầy tính trực tiếp $S$ từ 3 số liệu. Căn dặn, tuy dùng công tức Hê-rông, nhưng $S$ không phải là diện tích tam giác nào, do thứ nguyên của $S$ là lũy thừa $4$. Vì vậy kết quả $R$ từ bài viết này phù hợp với số liệu đã cho (dù rườm rà).

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).