Giải bài toán HHKG kỳ thi HSG MTCT năm học 2021-2022 TP HCM

Ta tính các cạnh của khối tứ diện $CA’B’A$ và sử dụng các số liệu này tính $d(AB’, A’C)$. Đó là các cạnh:
$$AB’, A’C; AA’, B’C; AC, B’A’$$

$BC=$ lưu vào A.

Do tính chất đường phân giác trong $\large AB.AC\sin A=(AB+AC).AH\sin\dfrac{A}{2}$ nên:
$AH=$ lưu vào B.

$A’A=$ lưu vào C.

Do tính chất đường phân giác trong $\large \dfrac{HB}{HC}=\dfrac{AB}{AC} \Leftrightarrow HB =BC.\dfrac{AB}{AB+AC}$ nên:
$HB=$

$A’B= $ lưu vào D.
 

Do tính chất đường phân giác trong $\large\dfrac{HC}{HB}=\dfrac{AC}{AB} \Leftrightarrow HC =BC.\dfrac{AC}{AB+AC}$ nên:
$HC=$

$A’C=$ lưu vào E.

$\cos(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BB’})=\cos(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AA’}) =\dfrac{BA’^2+CA^2-BA^2-A’C^2}{2.BC.AA’}$ lưu vào F.

$B’C=\sqrt{BB’^2+BC^2-2BB’.BC\cos(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BB’})} = $ lưu vào x.

$AB’=\sqrt{2AB^2+2AA’^2-A’B^2}=$ lưu vào y.
 

(Trong một hình bình hành tổng bình phương của hai đường chéo bằng tổng bình phương của bốn cạnh).
 

$V_{CAA’B’}=V_{CABB’}=V_{B’ABC}=V_{A’ABC}=$ lưu vào z.

$$\Large d(AB’,A’C)=\dfrac{12V_{CAA’B’}}{\sqrt{4.AB’^2.A’C^2-(AA’^2+B’C^2-AC^2-A’B’^2)^2}}$$

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).