Khoảng cách ngắn nhất giữa một hyperbol và một đường tròn

Ta có $MN$ ngắn nhất khi và chỉ khi tiếp tuyến tại $M$ của hyperbol $(H)$ song song với tiếp tuyến tại $N$ của nửa đường tròn $(C)$. Khi đó đường thẳng $MN$ là pháp tuyến của đường tròn (là đường thẳng vuông góc với tại tiếp tuyến tại tiếp điểm) và pháp tuyến của hyperbol. Vì $MN$ là pháp tuyến của nửa đường tròn $(C)$ nên nó đi qua tâm đường tròn , cụ thể là đi qua điểm $I(-1;2)$.

Phương trình pháp tuyến tại $M$ của hyperbol $y-\dfrac{m^2+4m+5}{m+1}=-\dfrac{(m+1)^2}{m^2+2m-1}(x-m)$.
 
Pháp tuyến này đi qua $I(-1;2)$ nên: $2-\dfrac{m^2+4m+5}{m+1}=-\dfrac{(m+1)^3}{m^2+2m-1}$.

Dùng Phương pháp CALC1000 cho $(m+1)(m^2+2m-1)\left[2-\dfrac{m^2+4m+5}{m+1}+\dfrac{(m+1)^3}{m^2+2m-1}\right]$

 
$2|008|012|007|998 \longrightarrow 2x^4+8x^3+12x^2+8x-2=0$
 
. Lưu nghiệm dương vào A. Tung độ điểm $M$ sẽ là ta lưu vào C.
 
Pháp tuyến này chỉ cắt nửa đường tròn tại một điểm duy nhất $N$.

Khi đó khoảng cách ngắn nhất của đoạn $MN$ sẽ bằng $IM-IN=IM-R$ ($R$ là bán kính đường tròn $=\sqrt{5,525}$ vì phương trình đường tròn là $(x+1)^2+(y-2)^2=5,525$).

.
 

Nếu lấy $x_2$ (như trên) thì tung độ của điểm $M$ sẽ bằng . Điểm $M$ như vậy sẽ khoảng cách đến mọi điểm của nửa đường tròn chắc chắn lớn hơn 2 nên không nhỏ hơn giá trị tìm được ở trên. Vì bài thi không trình lời giải nên học sinh chỉ cần phác họa hai đồ thị sẽ thấy trường hợp này bị loại.

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).