Phương trình lượng giác và diện tích lục giác nội tiếp

Ta có nhận xét $f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{1}{x}-x-2\log x=-f(x)$.

Vậy $f\left(\dfrac{1}{2025\sin x+2026}\right)+f(2025\cos 3x+2026)=0 \Leftrightarrow f(2025\sin x+2026)=f(2025\cos 3x+2026)$

Do $f$ là hàm số đơn điệu tăng (đạo hàm luôn luôn dương) nên phương trình tương đương với phương trình $2025\cos 3x+2026=2025\sin x ⇔ \cos 3x=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) ⇔ \left[\begin{array}{ll}x=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{k\pi}{2}&(1)\\
x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi&(2)
\end{array} \right. $

Trên đoạn $[0;2\pi]$, phương trình (1) cho ta 4 nghiệm (ứng với $k=0,1,2,3)$ và phương trình (2) cho ta hai nghiệm ứng với $k=1,2$.

Lần lượt lưu 6 nghiệm này theo thứ tự từ nhỏ đến lớn vào 6 biến nhớ A, B, C, D, E, F.
.
 
Diện tích của một lục giác nội tiếp đường tròn bán kính $1$ là
 

$\dfrac12\big[\sin(\text{B} -\text{A})+\sin(\text{C} -\text{B})+\sin(\text{D} -\text{C})+\sin(\text{E} -\text{D})+\sin(\text{F} -\text{E})+\sin(\text{A} -\text{F}+2\pi) \big]$

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).