Tổng telescoping

Đặt vấn đề. Tổng telescoping (thường gọi là tổng triệt tiêu) là một khái niệm rất hay trong toán học, nhất là khi tính tổng các dãy số. Thuật ngữ telescoping có nguồn gốc từ telescoping tube (cái ống rút): kéo ra thì dài, nhưng khi rút lại thì chỉ còn hai đầu. . Tổng telescoping thường có dạng $a_k-a_{k+1}$. Khi đó từ số hạng 2 đến số hạng áp cuối các tổng sẽ triệt tiêu lẫn nhau chỉ còn hai đầu.

.

Áp dụng.

Ta có: $n^2+n=n(n+1)$. Vậy $a_n=\dfrac{3n^2+3n+1}{n^3(n+1)^3}=\dfrac{(n+1)^3-n^3}{n^3(n+1)^3}=\dfrac{1}{n^3}-\dfrac{1}{(n+1)^3}$ (chú ý hằng đẳng thức $(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1$).

Ta thấy tổng của các $a_n$ là một tổng telescoping nên tổng của nó sẽ bằng số đầu của số hạng đầu tiên trừ số thứ hai của số hạng cuối cùng, nghĩa là

$$a_1+a_2+a_3+\dots+ a_{2026}=1-\dfrac{1}{2027^3}=\dfrac{2027^3-1}{2027^3}.$$

Kiểm tra được phân số nhận là phân số tối giản . Vậy $m-n=-1$.

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).