Các phép tính vectơ - Tích vectơ kép của ba vectơ.

Cho 3 vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}.$ Phép tính $\left[[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}],\overrightarrow{c}\right]$ cho ta một vectơ $\overrightarrow{d}$. Trên máy tính cầm tay ta ghi phép tính này như sau:

Ứng dụng 1. Vectơ chỉ phương của đường cao trong một tam giác. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(1;1;2), B(-2;3;1)$, $C(3;-1;4)$. Viết phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh $B$.
 

 
Xét ba vectơ $\overrightarrow{BA}=(3;-2;1), \overrightarrow{BC}=(5;-4;3),\overrightarrow{AC}=(2;-2;2).$
 

Thực hiện phép tính:
.

Vậy phương trình đường cao $BH$ là $$\left\lbrace\begin{array}{l}x=-2+t\\ y=3\\z=1-t\end{array} \right. $$
 

Ứng dụng 2. Chiếu một đường thẳng lên một mặt phẳng.

Trong không gian $Oxyz$ cho đường thẳng $d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$
và mặt phẳng $(P):x+2y+z-4=0$. Hình chiếu vuông góc của $d$ lên $(P)$ là đường thẳng có phương trình:
 
$\text{A.}\quad \dfrac{x}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z+2}{-4}$ $\qquad \qquad \text{B.}\quad \dfrac{x}{3}=\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{z+2}{1}$
 
$\text{C.}\quad \dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-4}$ $\qquad \qquad \text{D.}\quad \dfrac{x}{3}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-2}{1}$
 

 
Xét hai vectơ $\overrightarrow{u}=(1;1;-1), \overrightarrow{n}=(1;2;1)$.
 

 
Ta chọn A hoặc C trong đó A bị loại vì điểm $(0;-1;-2)$ (điểm trên đường thẳng của phương án A) không nằm trên mặt phẳng $(P)$. Vậy ta chọn C.

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).