BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Về vấn đề giải phương trình $f'(x)=0$
- 22/12/2025
- 734 lượt xem
| Bài toán. Cho hàm số $f(x)=\dfrac{\sqrt{x^2-4x+5}}{x-1}$. Giải phương trình $f'(x)=0$. |
Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó. Nếu sử dụng máy tính cầm tay và dùng chức năng SHIFT SOLVE mà bạn tìm được một nghiệm ví dụ $x=3$ thì bạn không thể kết luận $x=3$ là nghiệm duy nhất.
| Nếu bạn test trên một máy tính cầm tay nào đó với $x_0\geqslant 10^{11}$ bạn sẽ thấy $f'(x_0)=0$. Và do đó có quyền kết luận $x=x_0$ là nghiệm. Vậy phương trình $f'(x)=0$, nếu chấp nhận nghiệm xấp xỉ (tức là dùng máy tính cầm tay để xấp xỉ nghiệm) thì sẽ có kết luận phương trình $f'(x)=0$ có vô số nghiệm (xấp xỉ). |
Khi dạy bài toán này, giáo viên cần lưu ý học sinh:
1) Đồ thị hàm số này có hai đường tiệm cận ngang. Một trong hai đường tiệm cận ngang là $y=1$, nghĩa là khi $x \to +\infty$ thì $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}y=1 $, nói cách khác với $x$ đủ lớn thì $y'(x)$ xấp xỉ bằng $0$ (đạo hàm của hàm hằng). Phương trình $y’=0$ có vô số nghiệm (xấp xỉ) đủ lớn.
Nhưng toán học thuần túy (pure math.) thì không chấp nhận nghiệm xấp xỉ do đó muốn chứng minh phương trình $f'(x)=0$ có nghiệm duy nhất, ta phải lấy đạo hàm $$y’=(x-3)\dfrac{\sqrt{x^2-4x+5}}{x^4-6x^3+14x^2-14x+5}$$
Việc lấy đạo hàm này không thể thực hiện trong 5 phút (trước 2017 mỗi bài toán có trung bình 18 phút để giải), do đó cần trợ giúp từ máy tính cầm tay để xấp xỉ nghiệm.
2) Với máy tính Casio (580 VNX – 880BTG) thì sao? Khi máy tính xấp xỉ ra một nghiệm đủ lớn thì lưu ý học sinh đây không phải là nghiệm thuần túy, muốn tìm được nghiệm thuần túy của một hàm số có vô số nghiệm xấp xỉ (cụ thể là hàm số có đường tiệm cận ngang) ta lập bảng giá trị để xem nghiệm thuần túy nằm ở khoảng nào, rồi xấp xỉ với giá trị trong khoảng đó. Đối với máy tính 580VNX (ra đời cách đây gần 10 năm) là máy tính đầu tiên có tính năng giải phương trình $y’=0$ thì khi máy tính thông báo không giải được ta lập bảng giá trị của đạo hàm với giá trị $x$ vừa phải (từ $0$ đến $10$) để xem đạo hàm đổi dấu tại đâu để nhập giá trị phù hợp.
Nghiệm trong khoảng (2,84;3,04). 
Dù vậy, vẫn không kết luận được $x=3$ là nghiệm duy nhất. Nếu tập xác định là một đoạn $[a;b]$ thì có thể dùng bảng giá trị (như trên) để đưa ra dự đoán hoặc chờ đợi sự ra đời của máy tính cầm tay có tính năng đồ thị.
About TS. Nguyễn Thái Sơn
