Cho khối tứ diện $A\color{blue}BCD$. Công thức sau đây tính góc nhị diện $(A,$$\boldsymbol{B}$$C,D)$. $$\cos[BC]=\dfrac{\cos \widehat{ABD}-\cos \widehat{ABC}\cdot \cos \widehat{DBC}}{\sin \widehat{ABC}\cdot \sin \widehat{DBC}} $$   Cách nhớ: Chọn một trong hai đầu mút của đoạn $BC$ làm đỉnh. Có ba góc (của tam diện) nhận đỉnh của tứ diện làm đỉnh …

    $\overrightarrow{AB}=(1;2;0), \overrightarrow{CD}=(0;1;1)$. Phương trình đoạn thẳng $AB$ $\left\lbrace\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+2t\\ z=1\end{array} \right. \quad (t \in [0;1])$. Suy ra $M(1+t;1+2t;1) \ (t \in [0;1])$. Phương trình đoạn thẳng $CD$ $\left\lbrace\begin{array}{l}x=3\\ y=1+u\\ z=3+u\end{array} \right. \quad (u \in [0;1])$. Suy ra $N(3;1+u;3+u)\ (u \in [0;1])$. Khi đó $MN^2=f(t,u)=(2-t)^2+(u-2t)^2+(2+u)^2$. Ta xem $f(t,u)$ như …

Bài toán. Cho parabol $(P): y=x^2-4x+3$ và đường tròn $(C): (x-6)^2+(y+1)^2=1$. Tìm khoảng cách ngắn nhất của đoạn $MN$ trong đó $M, N$ là hai điểm lần lượt chay trên $(P)$ và $(C)$.   Thay vì dùng pháp tuyến đi qua tâm nhưu trong buổi học online tối 1/3/2026 ta …

Bài toán mẫu. Cho hai parabol $(P_1): y=x^2-4x+3\ ; (P_2): y=-(x-5)^2$. Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm $M$ và $N$, trong đó $M, N$ là hai điểm lần lượt chạy trên $(P_1)$ và $(P_2)$.   Trong buổi học online thầy đã tính được $ MN^2=(7-2m)^2+(-2m^2+8m-7)^2$. Xét hàm số …

Bài toán mẫu. Tìm dư của $2028^{2027}$ trong phép chia cho $2025$.   Thuật toán trên python.   def mod_pow(a, n, b): res = 1 a = a % b # tối giản a while n > 0: if n % 2 == 1: # nếu n lẻ res = …

Đặt vấn đề. Trong kỳ thi HSG MTCT THCS ta thường gặp bài toán: Tìm dư của phép chia $a^n$ cho $b$. Với những bài toán đơn giản, ví dụ $n$ là năm thi (năm $2027$ chẳng hạn) thì ta đã quen với việc phân tích $n=2025+m=3^4\times 5^2+m$ để xúc …