BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Cách thức mới chuyển phân số thành số thập phân tuần hoàn.
- 21/04/2025
- 451 lượt xem
Giả sử ta có một phân số tối giản $\dfrac{a}{b}$, ta muốn chuyển nó sang số thập phân tuần hoàn.
| Trường hợp 1: Khi $b$ là số nguyên tố khác 2 và khác 5. |
Khi đó phần tuần hoàn của phân số có tối đa $b-1$ chữ số và bắt đầu từ chữ số thập phân đầu tiên.
| Ví dụ 1. $\dfrac{10000}{29}$ |
Vì 29 là số nguyên tố nên phần tuần hoàn của nó có tối đa 28 chữ số và bắt đầu từ chữ số thập phân thứ nhất. Ngoài ra 29 có 2 chữ số nên mỗi lần ta xuất ra thương của phép chia $F\times 10^{8} \div 29$ ta có 8 chữ số. Do đó ta bấm $\fbox{OK}$ tối đa 4 lần là thấy sự tuần hoàn sẽ xuất hiện. Vì máy tính bảo lưu được 10 màn hình liên tiếp nên ta nhấn $\fbox{OK}$ 4 lần liên tiếp để quan sát.
Chú ý hình cuối cùng chỉ hiển thị 7 chữ số nghĩa là nó không hiển thị số 0 đứng đầu, ta phải điền số 0 này vào kết quả.
Tóm lại
| Trường hợp 2: Khi $b$ là hợp số. |
Ta phân tích số $b$ ra thừa số $b=2^m\times 5^n\times k^p\ (k \ \text{là thừa số nguyên tố} )$, chú ý nếu không có thừa số 2 hoặc thừa số 5 thì quy ước mũ của các thừa số đó là $0$ (luôn phải viết 2 thừa số này vào sự phân tích (hình thức)).
Khi đó phần tuần hoàn bắt đầu từ chữ số thứ $\max\{m, n\}+1$, chu kỳ $\ell $ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $10^{\ell} \equiv 1\ (\text{mod}\ k^p)$.
Nếu $p=1$ và $k$ là số nguyên tố thì $\ell$ là ước nhỏ nhất của $k-1$ thỏa $10^{\ell} \equiv 1\ (\text{mod}\ k)$
Nếu $p>1$ thì $\ell$ thường là $k^{p-1}$ nhân với $\ell_1$ với $\ell_1$ ước nhỏ nhất của $k-1$ thỏa $10^{\ell_1} \equiv 1\ (\text{mod}\ k)$.
| Ví dụ 2: $\dfrac{3}{28}$ |
Khi đó phần tuần hoàn bắt đầu từ chữ số thứ $\max\{m, n\}+1=3$, chu kỳ $\ell $ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $10^{\ell} \equiv 1\ (\text{mod}\ 7)$. Vì $7$ là số nguyên tố nên $\ell$ là ước nhỏ nhất của $7-1=6$ gồm $1, 2, 3, 6 \ \text{(liệt kê từ nhỏ nhất lên)} $ chỉ có số 6 thỏa điều kiện.
Tóm lại $\dfrac{3}{28}$ là số thập phân tuần hoàn, phần tuần hoàn có 6 chữ số và bắt đầu từ chữ số thứ 3.
| Ví dụ 3: $\dfrac{3}{49}$ |
$49=5^0\times 2^0\times 7^2$ nên phần tuần hoàn bắt đầu từ chữ số thứ 1 ($\max\{m, n\}+1=1$).
Vì $7$ là số nguyên tố và $7-1=6$ có các ước số $1, 2, 3, 6$ ta thấy ước nhỏ nhất thỏa điều kiện $10^{\ell} \equiv 1 \ (\text{mod}\ 7)$ là số 6. Ta lấy 6 nhân cho $k^{p-1}=7^1$ nên dự đoán phần tuần hoàn có $6\times 7=42$ chữ số. Viết biểu thức lên màn hình và nhấn $\fbox{OK}$ 6 lần để quan sát sự tuần hoàn.
Các phân số có mẫu số là lũy thừa của số nguyên tố lớn (như 7, 17, 19) thường có chu kỳ rất dài!
About TS. Nguyễn Thái Sơn
