BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Mẹo vặt
- 16/07/2025
- 1,104 lượt xem
 |
| Bài toán. Ta muốn tìm dư của phép chia số $\boldsymbol{A=(a+\sqrt{b})^n+(a-\sqrt{b})^n}$ cho $\boldsymbol{c}$ , $\quad (a, b, c \in \mathbb{N^*})$ |
Nếu kết quả của số nguyên $A$ có chừng 20 chữ số trở xuống ta sử dụng công thức: $$\fbox{$\rm A-c \ \text{Int} \dfrac{A}{c}$} $$
| Ví dụ: Tìm dư của phép chia số $(2+\sqrt3)^{27}+(2-\sqrt3)^{27}$ cho $2018$ . |
Nếu kết quả của số nguyên $A$ có hơn 20 chữ số ta sử dụng mẹo vặt sau đây:
Chia đôi số $n$ ra, lấy phần nguyên rồi phân tích $n=n_1+n_2$, trong đó $n_1=\left[\dfrac{n}{2}\right]$, còn $n_2=n_1$ nếu $n$ là số chẵn và bằng $n_1+1$ nếu $n$ là số lẻ. Ví dụ $n=37$ thì $n=18+19$.
Khi đó
$\underbrace{\left[(a+\sqrt{b})^{n_1}+(a-\sqrt{b})^{n_1}\right]}_{A_1}.\underbrace{\left[(a+\sqrt{b})^{n_2}+(a-\sqrt{b})^{n_2}\right]}_{A_2}=$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad =(a+\sqrt{b})^{n}+(a-\sqrt{b})^{n}+2a(a^2-b)^{n_1}$
Vậy
| $$\boldsymbol{(a+\sqrt{b})^{n}+(a-\sqrt{b})^{n}=A_1.A_2-2a(a^2-b)^{n_1}}$$ |
Để bài toán không quá phức tạp, đề bài thường cho $a^2-b=\pm 1$.
| Ví dụ. Tìm dư của phép chia số $A=(2+\sqrt3)^{37}+(2-\sqrt3)^{37}$ cho $2018$. |
Ta có: $A=(2+\sqrt3)^{37}+(2-\sqrt3)^{37}=A_1.A_2-4$
Trong đó $A_1=$ 
$\qquad\quad\ A_2=$ 
Kết quả 
| Bài toán. Gọi $A$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $\boldsymbol{(a+\sqrt{b})^{n}}\quad (a, b, c \in \mathbb{N^*})$. Tìm 3 chữ số cuối của $A$. |
 |
$A$ chính là phần nguyên (tức là số đứng trước dấu phẩy thập phân) của số $(a+\sqrt{b})^n$ (viết dưới dạng thập phân vô hạn không tuần hoàn). |
Ví dụ. Tìm 3 chữ số cuối của $A$ với $A$ là phần nguyên của $(2+\sqrt3)^{32}$.
Trước hết ta tính 
.
Kết quả này là một số nguyên có 19 chữ số, 3 chữ số cuối cùng là: 
.
Nhưng 
là một số dương xấp xỉ bằng $0$ nên phần nguyên của $(2+\sqrt3)^{32}$ sẽ có có 3 chữ số cuối cùng là $\fbox{113}$.
| |
 |
| Vấn đề. Chuyển kết quả thập phân sang phân số tối giản. Tất nhiên số thập phân này là nghiệm hữu tỉ của một phương trình hoặc là kết quả hữu tỉ của các phép tính. |
| Cho biết kết quả của biểu thức: $$\sqrt{1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{5^2}}\dots +\sqrt{1+\dfrac{1}{2022^2}+\dfrac{1}{2023^2}}=\dfrac{a}{b}$$ với $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản $(a, b \in \mathbb{N^*})$. Tính $a+b$. |
Thực hiện phép tính lưu kết quả vào biến nhớ A: 
$\fbox{Trừ cho phần nguyên:}$ 
$\fbox{rồi nghịch đảo}$ 
$\fbox{Tiếp tục trừ cho phần nguyên}$ 
$\fbox{rồi nghịch đảo}$ 
Kết quả: 
(dừng quá trình (thông thường sau 2 bước) khi thấy kết quả là số hữu tỉ).
Tóm tắt quá trình: $$\dfrac{1}{\dfrac{1}{A-2021}-2}=\dfrac{2021}{4} ⇔ \dfrac{A-2021}{1-2A+4042}=\dfrac{2021}{4}$$
Quy đồng mẫu số (nhân chéo xuống bằng nhân chéo lên) ta được phương trình bậc nhất $$\text{hệ số}.A =B.$$ Khi đó mẫu số bằng $\fbox{hệ số} \rightarrow $ 
và tử số bằng $\text{mẫu số} \times A \rightarrow $ 
.
Yêu cầu bài toán 
| Bài toán. Giải phương trình phân thức $$\dfrac{0,19x+3,41}{2,9-5,7x}=\dfrac{0,23x-2,35}{3,7-6,9x}$$ biết rằng nghiệm được viết dưới dạng $x=\dfrac{a}{b}, a, b \in \mathbb{N^*}$, phân số $\dfrac{a}{b}$ tói giản. Hãy tính $a+b$ . |
|
|
Khi gặp phương trình chứa phân thức, tốt nhất ta nên quy đồng mẫu số trước khi mở   để tránh quá trình xấp xỉ quá lâu. Tất nhiên sau khi giải xong cần kiểm tra lại điều kiện mẫu số khác $0$. |
Nhập phương trình và xuất ra nghiệm:
Trở ra $\fbox{HOME}$ và gọi lại $x$ 
.
Khi đó Yêu cầu bài toán $2429+4611$ (tính trực tiếp) hoặc 
| Vấn đề. Phân tích phân số $\fbox{$\dfrac{1}{abc}$}$ thành một tổng sao cho nhiều tổng như vậy sẽ có các số hạng triệt tiêu lẫn nhau. |
Ghi nhớ: $$\dfrac{1}{abc}=\left[\dfrac{1}{a}-\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}\right].A\qquad \text{với}\ A=\dfrac{1}{ba+bc-2ac} $$
Mẫu số của $A$ chính là tử số của “phép quy đồng mẫu số”. Tất nhiên sự phân tích trên chỉ có giá trị khi $A$ luôn luôn giống nhau với các bộ ba $abc$ dưới mẫu.
| Ví dụ 1: $\dfrac{1}{2.4.6}+\dfrac{1}{4.6.8}+\dfrac{1}{6.8.10}+\dots+\dfrac{1}{2018.2020.2022}$. |
Ta thấy mỗi phân số đều có $A=\dfrac{1}{8}$ vì $4.2+4.6-2.2.6=6.4+6.8-2.4.8=\dots =\fbox{8}$
| Ví dụ 2: $\dfrac{1}{1.3.5}+\dfrac{1}{3.5.7}+\dfrac{1}{5.7.9}+\dots+\dfrac{1}{2025.2027.2029}$. |
Ta thấy mỗi phân số đều có $A=\dfrac{1}{8}$ vì $3.1+3.5-2.1.5=7.5+7.9-2.5.9=\dots =\fbox{8}$
| Luyện tập 1: Cho biết $\dfrac{1}{2.4.6}+\dfrac{1}{4.6.8}+\dfrac{1}{6.8.10}+\dots+\dfrac{1}{2018.2020.2022}=\dfrac{A}{B}$ với $\dfrac{A}{B}$ là phân số tối giản. Hãy tính $A+B$. |
Ta thực hiện phép tính lấy tổng và lưu kết quả vào biến nhớ A 
.
Mặt khác $A=\dfrac{1}{2.4.6}+\dfrac{1}{4.6.8}+\dfrac{1}{6.8.10}+\dots+\dfrac{1}{2018.2020.2022}=$
 |
Chú ý các bộ ba phân số có mẫu giống nhau $\dfrac{1}{6} ; -\dfrac{2}{6} ; \dfrac{1}{6};\ \dfrac{1}{8} ; -\dfrac{2}{8} ; \dfrac{1}{8}; \dots \dfrac{1}{2014} ; -\dfrac{2}{2014} ; \dfrac{1}{2014}$;
$\dfrac{1}{2016} ; -\dfrac{2}{2016} ; \dfrac{1}{2016}; \ \dfrac{1}{2018} ; -\dfrac{2}{2018} ; \dfrac{1}{2018}$ tổng của chúng sẽ bằng $0$. |
Ta thấy mẫu số của $A$ là $8\times \text{LCM}(2020,2022)=$ 
và tử số của $A$ là 
, phân số chưa tối giản vì tử và mẫu cùng chia hết cho $2$.
Do đó mẫu số của phân số tối giản là 
, tử số là 
và yêu cầu bài toán là
| Luyện tập 2: Cho biết $\dfrac{1}{3.5.7}+\dfrac{1}{5.7.9}+\dfrac{1}{7.9.11}+\dots+\dfrac{1}{2019.2021.2023}=\dfrac{A}{B}$ với $\dfrac{A}{B}$ là phân số tối giản. Hãy tính $A+B$. |
Ta thực hiện phép tính lấy tổng và lưu kết quả vào biến nhớ A 
Thực hiện tương tự như trên ta có: $A=\dfrac18\left[\dfrac13-\dfrac25+\dfrac15+\dfrac{1}{2021}-\dfrac{2}{2021}+\dfrac{1}{2023}\right]$
Vì $3, 5, 2021, 2023$ nguyên tố cùng nhau từng đôi một nên mẫu số của $A$ là 
, do đó tử số của $A$ là 
. Tử này chia hết cho $8$ nên tính lại mẫu tối giản:
, tính lại tử 
.
Yêu cầu bài toán 
About TS. Nguyễn Thái Sơn
