HSG Casio THCS

2024   GIẢI Theo đề bài ta có: $f(x)=(2x^2-x+1)(Ax+B)+5x+2$ $f(x)=(x^2+x+1)(Cx+D)+14x+12$ Vậy: $(2x^2-x+1)(Ax+B)-(x^2+x+1)(Cx+D)=9x +10\ \forall x$ Lần lượt cho $x=-1, 0, 1, 2$ ta có hệ phương trình: $$\left\lbrace\begin{array}{ll} 4(-A+B)-(-C+D)&=1\\ 1(0A+B)-(0C+D)&=10\\ 2(A+B)-3(C+D)&=19\\ 7(2A+B)-7(2C+D)&=28\\ \end{array} \right. $$ Các hệ số của hệ phương trình này được xác lập bởi bảng giá trị của hai hàm số $f(x)=2x^2-x+1$ …

  Xét hệ phương trình đồng dư: $$\left\{\begin{array}{ll} x \equiv 5 &(\text{mod}\ 17 )\\ x \equiv 11 &(\text{mod}\ 29 )\\ x \equiv 25 &(\text{mod}\ 43 )\\ \end{array} \right.$$ Vì nên hệ phương trình nghiệm duy nhất   $x=5.29.43z_1+11.43.17z_2+25.17.29z_3 +17.29.43k, k \in \mathbb{Z}$ trong đó: $z_1, z_2, z_3$ lần lượt là nghịch đảo theo mô-đu-lô 17 …

Định lý phần dư Trung Hoa (hay còn gọi là “bài toán Hàn Tín điểm binh”). Xét hệ phương trình: $$\left\{ \begin{array}{l} x \equiv a_1 \quad (\kern-.2em\mod m_1) \\ x \equiv a_2 \quad (\kern-.2em\mod m_2) \\ x \equiv a_3 \quad (\kern-.2em \mod m_3) \\ \end{array}\right.$$ trong đó $m_1, m_2, m_3$ đôi một nguyên tố cùng …

  Để dễ hiểu bài này, các bạn nên đọc bài dẫn nhập trước, tại đây.   Sau đây ta xây dựng thuật toán chạy trên bảng tính để tìm $k$ chữ số cuối cùng của số $a^n$. Bạn đọc phải đọc bài trước của bài này mới hiểu thuật toán. Ưu điểm của cách …

Bài toán: Tìm $k$ chữ số cuối cùng của số $a^n$, trong đó $k$ là một số tự nhiên (tối đa $k=5$), $a$ là một số nguyên (đôi khi ta gặp $a$ là số nguyên tố) tối đa bằng $19$ và $n$ là số năm từ $2017$ đến tối đa là $2030$ (các năm thi …

Cho dãy số $(u_n)$ được xác định như sau: $$u_1=\alpha, u_2=\beta, u_n=\left\{\begin{array}{lnn} a.u_{n-1}+b.u_{n-2}+ f(n)&\text{nếu} & n \ \text{lẻ}\\ c.u_{n-1}+d.u_{n-2}+ g(n)& \text{nếu} & n \ \text{chẵn} \\\end{array} \right.\ (n \geqslant 3.)$$ Hãy tính $u_{45}$  

2024   GIẢI Theo đề bài ta có: $f(x)=(2x^2-x+1)(Ax+B)+5x+2$ $f(x)=(x^2+x+1)(Cx+D)+14x+12$ Vậy: $(2x^2-x+1)(Ax+B)-(x^2+x+1)(Cx+D)=9x +10\ \forall x$ Lần lượt cho $x=-1, 0, 1, 2$ ta có hệ phương trình: $$\left\lbrace\begin{array}{ll} 4(-A+B)-(-C+D)&=1\\ 1(0A+B)-(0C+D)&=10\\ 2(A+B)-3(C+D)&=19\\ 7(2A+B)-7(2C+D)&=28\\ \end{array} \right. $$ Các hệ số của hệ phương trình này được xác lập bởi bảng giá trị của hai hàm số $f(x)=2x^2-x+1$ …

  Xét hệ phương trình đồng dư: $$\left\{\begin{array}{ll} x \equiv 5 &(\text{mod}\ 17 )\\ x \equiv 11 &(\text{mod}\ 29 )\\ x \equiv 25 &(\text{mod}\ 43 )\\ \end{array} \right.$$ Vì nên hệ phương trình nghiệm duy nhất   $x=5.29.43z_1+11.43.17z_2+25.17.29z_3 +17.29.43k, k \in \mathbb{Z}$ trong đó: $z_1, z_2, z_3$ lần lượt là nghịch đảo theo mô-đu-lô 17 …

Định lý phần dư Trung Hoa (hay còn gọi là “bài toán Hàn Tín điểm binh”). Xét hệ phương trình: $$\left\{ \begin{array}{l} x \equiv a_1 \quad (\kern-.2em\mod m_1) \\ x \equiv a_2 \quad (\kern-.2em\mod m_2) \\ x \equiv a_3 \quad (\kern-.2em \mod m_3) \\ \end{array}\right.$$ trong đó $m_1, m_2, m_3$ đôi một nguyên tố cùng …

  Để dễ hiểu bài này, các bạn nên đọc bài dẫn nhập trước, tại đây.   Sau đây ta xây dựng thuật toán chạy trên bảng tính để tìm $k$ chữ số cuối cùng của số $a^n$. Bạn đọc phải đọc bài trước của bài này mới hiểu thuật toán. Ưu điểm của cách …

Bài toán: Tìm $k$ chữ số cuối cùng của số $a^n$, trong đó $k$ là một số tự nhiên (tối đa $k=5$), $a$ là một số nguyên (đôi khi ta gặp $a$ là số nguyên tố) tối đa bằng $19$ và $n$ là số năm từ $2017$ đến tối đa là $2030$ (các năm thi …

Cho dãy số $(u_n)$ được xác định như sau: $$u_1=\alpha, u_2=\beta, u_n=\left\{\begin{array}{lnn} a.u_{n-1}+b.u_{n-2}+ f(n)&\text{nếu} & n \ \text{lẻ}\\ c.u_{n-1}+d.u_{n-2}+ g(n)& \text{nếu} & n \ \text{chẵn} \\\end{array} \right.\ (n \geqslant 3.)$$ Hãy tính $u_{45}$