BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Phần 2: Số thập phân tuần hoàn
- 25/07/2025
- 503 lượt xem
| Bài toán 1. Tìm chữ số thập phân thứ $2021$ sau dấu phẩy của số $$A = 2,31(25) + 1,2(125)$$ |
.
Vậy $A=3,52(503776)$.
Trước phần tuần hoàn có 2 chữ số thập phân nên chữ số thập phân thứ $2021$ sau dấu phẩy của số $A$ chính là chữ số thứ $2019$ của phần tuần hoàn. Vì
nên số này là chữ số thứ $3$ của chu kỳ đầu tiên. Đó là số $3$.
| Bài toán 2. Tìm chữ số thập phân thứ $2013$ sau dấu phẩy của số $A = 2,(085) + 1,2(915)$ |
Vậy $A=3,3(766)$. Trước phần tuần hoàn có 1 chữ số thập phân nên ta tìm chữ số thứ $2012$ của phân tuần hoàn, đó là chữ số thứ 2 
của chu kỳ dầu tiên, tức là số $6$.
| Bài toán 3. Tìm chữ số thập phân thứ $2015$ của số $\dfrac{3}{49}$ viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. |
.
Ta đếm được phần tuần hoàn bắt đầu từ chữ số thập phân đầu tiên và mỗi chu kỳ có có 42 chữ số.
Vì 
nên chữ số thập phân thứ $2015$ của số đã cho chính là số thập phân thứ $41$ của phần tuần hoàn, đó là số $5$.
 |
Giả sử ta có phân số tối giản $\dfrac{a}{b}$, trong đó $b=2^m.5^n.p^k$ với $p$ nguyên tố. Khi đó ta áng chừng số chữ số của mỗi chu kỳ là $p^{k-1}\times (p-1)$. Như vậy với bài toán ở trên ta áng chừng mỗi chu kỳ của số thập phân tuần hoàn có $7\times 6=42$ số. Đây không phải là quy tắc, nó chỉ giúp ta đếm mỗi chu kỳ có bao nhiêu số thôi, ở bài này phần tuần hoàn nằm ở 3 trang màn hình, mỗi trang màn hình khoảng 13-15 số, kết hợp với áng chừng 42 ta biết chính xác có 42 số. |
| Bài toán 3. Tìm chữ số thập phân thứ $2023^{1111}$ của phép chia số $20232024$ cho $23$. |
Thực hiện phép chia có dư để giảm số bị chia, sau đó lấy dư thực hiện phép chia để Định dạng thành số thập phân tuần hoàn: 
.
Vì số chia $23$ là số nguyên tố nên phần tuần hoàn có tối đa 22 chữ số và bắt đầu từ chữ số thập phân đầu tiên. Ta đọc 22 chữ số của chu kỳ đầu tiên như sau:
.
Vậy $\dfrac{20232024}{23}=879653,(2173913043478260869565)$. Ta chỉ cần biết một chu kỳ của phần tuần hoàn có 22 chữ số, không cần liệt kê ra đầy đủ.
Tiếp theo ta tìm dư của phép chia số $2023^{1111}$ cho $22$. Vì 
nên ta chỉ cần tìm dư của $21^{1111}$ cho $22$.
$21^{1111}=21^{10^3+10^2+10+1}=\boldsymbol{21.21^{10}.21^{10^2}.21^{10^3}}$
Vì $21^{10} \equiv 1 \ (\text{mod}\ 22 )$ nên $21^{10^2}=(21^{10})^{10} \equiv 1 \ (\text{mod}\ 22 )$ và $21^{10^3} =((21^{10})^{10})^{10}\equiv 1 \ (\text{mod}\ 22 )$.
Vậy $21^{1111} \equiv 21 \ (\text{mod}\ 22 )$. Do đó chữ số thứ $2023^{1111}$ chính là chữ số thứ $21$ của phần tuần hoàn, đó là số $6$.
| Bài toán 4. Tìm chữ số thập phân thứ $2023^{2024}$ sau dấu phẩy khi viết số $\dfrac{10000}{61}$ dưới dạng số thập phân. |
| Vì $61$ là số nguyên tố nên phần tuần hoàn của số thập phân biểu diễn phân số $\dfrac{10000}{61}$ có tối đa 60 chữ số và bắt đầu từ chữ số thập phân đầu tiên. |
, để tìm phần thập phân ta lấy F $\times 10^8$ chia có dư cho $61$, sau đó thực hiện liên tục các
phép chia đó để viết ra tất cả các số ở thương đến khi gặp các số đầu tiên của phần tuần hoàn, cụ thể ở đây là $9344\dots $ thì dừng và đếm có 8 màn hình nên có đúng $60$ chữ số trong một chu kỳ:
Ta tìm dư của phép chia số $2023^{2024}$ cho $60$. Vì  nên ta tìm dư của phépchia số $43^{2024}=43^{2000+16+8}=43^{2^4.5^3+2^4+2^3}=43^{2^4.5^3}.43^{2^4}.43^{2^3}$ cho $60$. |
Nhập cơ số vào máy tính 
, nhập phép tính 
, nhấn $\fbox{OK}$
3 lần kết quả 
. Suy ra $43^{2^3} \equiv 1 \ (\text{mod}\ 60)$, do đó $43^{2^4} \equiv 1 \ (\text{mod}\ 60)$, $43^{2000} \equiv 1 \ (\text{mod}\ 60)$.
Vậy dư của phép chia số $2023^{2024}$ cho $60$ là $1$, do đó chữ số thập phân thứ $2023^{2024}$ chính là chữ số thập phân thứ nhất của phần tuần hoàn, tức là số $9$.
|
|
câu trả lời thú vị: Giả sử ta có một phân số tối giản $\dfrac{a}{p}$ , trong đó $p$ là số nguyên tố khác 2 và khác $5$. Gọi $k$ là ước nhỏ nhất của $p-1$ thỏa điều kiện $10^k \equiv 1\ (\text{mod}\ p)$ thì mỗi chu kỳ của dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn của $\dfrac{a}{p}$ có $k$ chữ số. |
Số $282=$ 
có các ước số là $1; 2; 3; 6; 47; 94; 141; 282$.
 . |
Ta chỉ xét các ước số $47; 94; 141$ vì nhìn vào số thập phân ta thấy mỗi chu kỳ không thể có $1; 2; 3 ; 6$ chữ số. |
Ta thực hiện phép chia tìm thương trên máy tính, mỗi trang màn hình có 7 chữ số (của thương) nên các số $47, 94, 141$ lần lượt ứng với số trang màn hình là $7, 14, 21$.
Chia lấy thương và dư 
. Viết phép tính lấy thương 
, nhớ
bắt đầu phần tuần hoàn là số $2932$ 
,
để đến trang thứ 7 ta nhấn thêm $\fbox{OK}$ 6 lần 
chưa thấy lặp lại,
để đến trang thứ 14 ta nhấn thêm $\fbox{OK}$ 7 lần nữa 
vẫn chưa thấy lặp lại,
để đến trang thứ 21 ta nhấn thêm $\fbox{OK}$ 7 lần nữa 
ta thấy lặp lại. Vậy ước nhỏ nhất của $282$ thỏa điều kiên $10^k \equiv 1 \ (\text{mod}\ 283)$ là $141$, do đó mỗi chu kỳ của số thập phân tuần hoàn có $141$ chữ số.
| Bài tập ôn. Tìm chữ số thập phân thứ $13^{2012}$ sau dấu phẩy trong phép chia $2500000 \div 19$. |
About TS. Nguyễn Thái Sơn
