BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Về bài toán khó phép chia có dư
- 26/03/2025
- 320 lượt xem
| Bài toán. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \((x, y)\) sao cho khi chia \(x^2 + y^2\) cho \(x + y\), thương là \(k\) và số dư \(r\) thỏa mãn điều kiện: \[ k^2 = r + 2007. \] |
Đặt $S=x+y, P=xy$. Điều kiện $S^2 \geqslant 4P ⇔ P \leqslant \dfrac{S^2}{4}$. Theo đề bài $$x^2+y^2=k(x+y)+r ⇔ S^2-2P=kS+r.$$
Thay $r=k^2-2007$ vào phương trình trên ta có: $$S^2-kS-2P-k^2+2007=0.$$
Giải phương trình này tìm $S$ ta có: $S=\dfrac{k+\sqrt{5k^2+8P-8028}}{2}\quad (1)$. Nghiệm ứng với dấu trừ là nghiệm âm (vì $-2P-k^2+2007<0$).
Do $P \leqslant \dfrac{S^2}{4}$ và lưu ý $2S-k>0 $ nên kết hợp với (1) ta có: $$S\leqslant \dfrac{k+\sqrt{5k^2+2S^2-8028}}{2} ⇔ (2S-k)^2 \leqslant 5k^2+2S^2-8028$$
$$⇔ 2S^2-4kS-4k^2+8028\leqslant 0 ⇔ S^2-2kS-2k^2+4014\leqslant 0$$
$$⇔ \underbrace{k-\sqrt{3k^2-4014}}_{\text{âm}} \leqslant S\leqslant k+\sqrt{3k^2-4014}.$$
Ta chỉ lấy $0<S\leqslant k+\sqrt{3k^2-4014}$.
Vì $r$ là dư của phép chia cho $S$ nên $r<S ⇔ k^2-2007<k+\sqrt{3k^2-4014} ⇔$ $$ \sqrt{3k^2-4014}>k^2-k-2007 \quad (k > \sqrt{2007}\approx 44,799955357).$$
Lập bảng giá trị cho hàm số 
với $k\geqslant 45$ ta thấy 
chỉ có một giá trị $k$ duy nhất thỏa bất phương trình là $k=45 ⇒ r=$ 
.
Trở lại bài toán: $x^2+y^2=k(x+y)+r ⇔ y^2-45y+x^2-45x-18=0 ⇔ y=\dfrac{45\pm \sqrt{-4x^2+180x+2097}}{2}$
Điều kiện cho $x$ 
. Vậy $0<x\leqslant 54$.
Lập bảng giá trị cho hai hàm số
với $x$ chạy từ 1 đến 30 sau đó chạy từ 31 đến 54:
Tóm lại ta có bốn cặp số nguyên dương thỏa ycbt là $$\left\lbrace\begin{array}{l}x=3\\y=48\end{array} \right. \quad ; \quad \left\lbrace\begin{array}{l}x=48\\ y=3\end{array} \right.\quad ;\quad \left\lbrace\begin{array}{l}x=48\\ y=42\end{array} \right. \quad ; \quad \left\lbrace\begin{array}{l}x=42\\ y=48\end{array} \right. $$
|
Giải bất phương trình vô tỉ nghiệm nguyên dương $\sqrt{3k^2-4014}>k^2-k-2007$
(dành cho GV/HS THPT không phù hợp học sinh lớp 9) |
|
Trường hợp 1: Nếu $k^2-k-2007 \geqslant 0 ⇔ k \geqslant 46\quad (k \in \mathbb{N})$. (vì $k>\sqrt{2007} \approx 44,799955357$ và
 .Khi đó:
Trường hợp 2: Nếu $k^2-k-2007 <0 ⇔ 44,79955357<k <45,30234369$. Vậy bất phương trình chỉ có một nghiệm nguyên dương duy nhất là $k=45$. |
About TS. Nguyễn Thái Sơn
