Khoảng cách từ một đỉnh của khối tứ diện đến đáy của nó

Chú ý bài toán gốc (HSG MTCT TP HCM 2019) đề bài cho chân đường vuông góc $SI$ với $SI=7$ và tính được $IA$. Do đó thể tích của khối tứ diện dễ thực hiện hơn. Tuy nhiên ở đây ta thảo luận về bài toán tổng quát hơn (dù ít gặp). Chú ý thêm khi liệt kê kích thước của khối tứ diện, cần liệt kê theo từng cặp cạnh đối $(SA, BC); (SB, AC); (SC,AB)$.

Thiết lập công thức $$BK=d(B, (SAC))=\dfrac{3V_{SABC}}{S_{SAC}}$$

$V_{SABC}=\sqrt{\dfrac{\det A}{288}}$ với ${\boldsymbol{A}}=\left(\begin{array}{ccc}2A&A+B-F&A+C-E\\A+B-F&2B&B+C-A\\
A+C-E&B+C-A&2C
\end{array} \right) $ trong đó:
\begin{array}{ccc}A=SA^2\ ; &B=SB^2\ ; &C=SC^2\\
D=BC^2\ ; &E=AC^2\ ; &AB^2\end{array}

$S_{SAC}=\sqrt{\dfrac{\det B}{16}}$ với ${\boldsymbol{B}}=\left(\begin{array}{cc}2A&A+C-E\\A+C-E&2C
\end{array} \right)\quad $
 

Cuối cùng $BK=d(B,(SAC))=$

Lưu ý: .

Nhập liệu vào 6 biến nhớ:
 

Nhập số vào ma trận A: .

Để có ma trận B ta lưu ma trận A thành ma trận B và tiến hành thay số 1 vào $a_{22}$ và số 0 vào các vị trí phù hợp $a_{12}, a_{21}, a_{23}, a_{32}$

.

Khi đó

$BK=d(B,(SAC))=$

Như các bạn thấy, nếu đề bài chỉ cho 6 cạnh của khối tứ diện (mà không cho chiều cao của khối tứ diện đó) thì sẽ không có phương pháp nào tìm khoảng cách $BK$ này nhanh hơn máy tính cầm tay.

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).