BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Tâm tỉ cự
- 01/03/2025
- 486 lượt xem
| Đặt vấn đề. Trong kỳ thi HSG MTCT Cấp thành phố và các tỉnh, bài toán Hình học luôn là bài toán khó, rất nhiều học sinh đã không hoàn thành được bài tập này. Để giúp các thầy cô phụ trách có thêm tài liệu giảng dạy và các em học sinh tự học, hôm nay thầy Sơn giới thiệu một công thức giải tam giác hay gặp trong kỳ thi để các em có thể hoàn thành bài toán kịp thời gian. |
| Cho tam giác $ABC$ có độ dài ba cạnh $AB, BC, CA$. Trên đoạn $BC$ ta lấy điểm $M$ sao cho $\dfrac{BM}{BC}=u$ và trên đoạn $CA$ ta lấy điểm $N$ sao cho $\dfrac{CN}{CA}=v$. Hãy tính độ dài ba đoạn $IA, IB, IC$ theo $u, v$ và ba cạnh tam giác $ABC$. |
 |
Quy ước: Chiều dương là chiều trên đường tròn, chạy ngược chiều kim đồng hồ. Nghĩa là khi gọi tên ta gọi $A, B, C$ theo thứ tự. Ví dụ, tỉ số trên đoạn $BC$ là $\dfrac{BM}{BC}$ (đi từ $B$ tới $C$), nếu đề bài cho tỉ số $\dfrac{MB}{MC}$ ta phải đổi sang $\dfrac{BM}{BC}$ rồi đặt là $u$. |
Công thức 1:
$$AI=\dfrac{1-v}{1-v+uv}\sqrt{(1-u)AB^2+uAC^2-u(1-u)BC^2}$$
Để nhớ công thức này, các em lưu ý: Để tính đoạn $AI$ ta dựa vào $AB, AC$. Theo quy ước đứng tại $A$ và đi theo chiều dương thì gặp $B$ trước , gặp $C$ sau, đoạn $BC$ liệt kê cuối cùng.
Công thức 2:
$$BI=\dfrac{u}{1-v+uv}\sqrt{(1-v)BC^2+vBA^2-v(1-v)AC^2}$$
Để nhớ công thức này, các em lưu ý: Để tính đoạn $BI$ ta dựa vào $BC, BA$. Theo quy ước đứng tại $B$ và đi theo chiều dương thì gặp $C$ trước , gặp $A$ sau, đoạn $AC$ liệt kê cuối cùng.
Công thức 3: $CI=$
$$\dfrac{1}{1-v+uv}\sqrt{uv(2uv-u-v+1)CA^2+(1-u)(1-v)(2uv-u-v+1)CB^2-uv(1-u)(1-v)AB^2}$$
Để nhớ công thức này, các em lưu ý: Để tính đoạn $CI$ ta dựa vào $CA, CB$. Theo quy ước đứng tại $C$ và đi theo chiều dương thì gặp $A$ trước , gặp $B$ sau, đoạn $AB$ liệt kê cuối cùng.
Khi thực hiện tính $CI$ trên máy tính cầm tay ta lưu các hệ số $$uv(2uv-u-v+1), (1-u)(1-v)(2uv-u-v+1), -uv(1-u)(1-v)$$ vào các biến nhớ để tránh bị giõ nhầm.
|
Nhận xét: Các hệ số của căn thức (3) phức tạp, nhưng hệ số thứ nhất có thừa số $uv$ , hệ số thứ hai có thừa số $(1-u)(1-v)$ , hệ số thứ ba bằng (đổi dấu) tích của hai thừa số đó.
Thừa số chung của hệ số thứ nhất và hệ số thứ hai là $2uv-u-v-1$. |
Việc ghi nhớ những công thức này (rất dễ ghi nhớ vì có quy luật) trong nhiều tháng luyện tập đáng giá cho một kết quả tốt.
Ghi chú: Công thức này thầy thực hiện việc tính toán dựa vào định lý Mê-nê-la-uyt và định lý hàm $\cos$, đã kiểm tra kết quả cẩn thận để tránh bị nhầm nên ở đây ta sẽ không cần chứng minh.
|
Viết riêng cho GV phụ trách THPT và học sinh 12
|
| Sở dĩ thầy đặt tên cho bài viết là tâm tỉ cự là vì khi ta tìm được $IA, IB, IC$ ta sẽ được một bộ ba số $k_A, k_B, k_C$ ; $k_A+k_B+k_C\ne 0$ sao cho $$k_A\overrightarrow{IA}+k_B\overrightarrow{IB}+k_C\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$$ Khi đó ta nói $I$ là tâm tỉ cự của hệ ba điểm $A, B, C$ với bộ ba số $k_A, k_B, k_C$. Trọng tâm của tam giác là một ví dụ quen thuộc về tâm tỉ cự với $k_A=k_B=k_C=1$. |
Một ví dụ minh họa.Đề thi HSG MTCT THPT tỉnh Vĩnh Long năm 2023 (đối với HS THCS các em chỉ cần tính $IA, IB, IC$).
|
1) Tính $IA, IB, IC$ rồi suy ra $SA, SB, SC$.
Ta có: $u=\dfrac{BN}{BC}=\dfrac13, v=\dfrac{CM}{CA}=\dfrac12$.
$$AI=\dfrac{1-v}{1-v+uv}\sqrt{(1-u)AB^2+uAC^2-u(1-u)BC^2}$$
$IA=$ 
, $SA=$ 
$$BI=\dfrac{u}{1-v+uv}\sqrt{(1-v)BC^2+vBA^2-v(1-v)AC^2}$$
$IB=$ 
$SB=$ 
| Nhận xét: Từ công thức (1) sang công thức (2) ta chỉ cần điều chỉnh số liệu. Trong mỗi căn thức, ta có 3 hệ số $1-x, x, -x(1-x)$. Nếu nhớ hệ số đầu tiên thì hệ số thứ nhì bằng $1$ trừ hệ số đầu tiên, hệ số thứ ba bằng (đổi dấu) tích của hai hệ số. Hệ số đầu tiên của căn thức (2) chính là tử số (phân số ngoài căn) của công thức (1). Hệ số thứ nhì của căn thức (1) chính là tử số (phân số ngoài căn) của công thức (2). |
$$IC=\dfrac{1}{1-v+uv}\sqrt{uv(2uv-u-v+1)CA^2+(1-u)(1-v)(2uv-u-v+1)CB^2-uv(1-u)(1-v)AB^2}$$
Ba hệ số của căn thức (3) là
$IC=$ 
$SC=$ 
2) Chiều cao của khối tứ diện hạ từ $B$:
$$BK=\dfrac{3V_{SABC}}{S_{SAC}}=\dfrac{S_{ABC}.SI}{S_{SAC}}$$
Ta dùng bảng tính để tính diện tích hai tam giác bằng công thức Hê-rông và tiếp tục cho câu 3) tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện $SABC$ bằng công thức
$$R=\dfrac{S}{6V_{SABC}}.$$
Lưu $SA, SB, SC$ lần lượt vào A, B, C.
Tính $S_{ABC}$. Nhập độ dài các cạnh $AB, BC, AC$ vào $A_1, A_2, A_3$ đưa con trỏ lên $B_1$ nhập công thức Hê-rông:
lưu kết quả vào D.
Tính $S_{SAC}$. Nhập độ dài các cạnh $SA, SC, AC$ vào $A_1, A_2, A_3$, kết quả 
lưu vào E.
Khi đó: $BK=$ 
Tính $S$. Nhập $SA\times BC, SB\times AC, SC\times AB$ vào $A_1, A_2, A_3$, kết quả 
lưu vào F.
Vậy $R$= 
About TS. Nguyễn Thái Sơn
