Tìm các chữ số đầu tiên của số $a^n$

$\ln(1+x)=x+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^5}{5}+\dots$

Nếu $x$ khá nhỏ thì $\ln(1+x)\approx x$ sai số $\dfrac{x^2}{2}$.

$\log\left(5^{2027}-1\right)=\log
\left[5^{2017}
\left(1-\dfrac{1}{5^{2027}}\right)
\right] =\log\left(5^{2027}\right)+\log\left(1-\dfrac{1}{5^{2027}}\right)$

$\log\left(1-\dfrac{1}{5^{2027}}\right) =\dfrac{\ln\left(1-\dfrac{1}{5^{2027}}\right) }{\ln 10}\approx -\dfrac{1}{5^{2027}.\ln 10}$, sai số $\varepsilon= \dfrac12.\dfrac{1}{5^{4054}\ln 10}$, sai số này quá nhỏ không làm ảnh hưởng tới phần nguyên của $\log P$.