Tổng các nghiệm của phương trình lượng giác trên một đoạn

$\cos 2x+2\sin 3x=1 ⇔ -2\sin^2x+2(3\sin x-4\sin^3x)=0$

$ ⇔ 4\sin^3x+\sin^2x-3\sin x=0⇔ \left[\begin{array}{l}\sin x=0 \\ \sin x=-1 \\ \sin x=\dfrac34\end{array}\right.⇔ \left[\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi \\ x=\arcsin\dfrac34+k2\pi\\ x=\pi-\arcsin\dfrac34+k2\pi\end{array}\right.$

 
Với $x=k\pi$, vì $0 \leqslant x\leqslant 100$ nên $0\leqslant k \leqslant \dfrac{100}{\pi}=31,830\dots $. Vậy $0 \leqslant k\leqslant 31$.
 
Với $x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$, vì $0 \leqslant x\leqslant 100$ nên $\dfrac{0+\dfrac{\pi}{2}}{2\pi}\leqslant k \leqslant \dfrac{100+\dfrac{\pi}{2}}{2\pi}$ . Vậy $1 \leqslant k\leqslant 16$ .
 
Đối với phương trình $\sin x=\dfrac34$ ta dùng bảng giá trị để xác định $k$ như sau:

 
Ta thấy cả hai tập hợp nghiệm đều cho $1\leqslant k\leqslant 16$.
 
Ta tính các tổng tương ứng:

lần lượt lưu vào A, B, C và tổng của tất cả các nghiệm là:

Vì $x=\dfrac{1-11\sin x}{2}$ và $-1\leqslant \sin x \leqslant 1$ nên $-5\leqslant x \leqslant 6$.

Xét hàm số $f(x)=11\sin x-1+2x$, $x \in [-5;6]$.

Lập bảng giá trị cho $f(x)$ với $x$ chạy từ $-5$ đến $6$, bước là $\dfrac{11}{44}$, ta quan sát tại các chỗ đổi dấu, nghiệm sẽ xấp xỉ tại đó:

ta thấy phương trình $f(x)=0$ có 5 nghiệm và biết khoảng chứa nghiệm. Ta dùng Solver để tìm 5 nghiệm đó (khi dùng Solver, chọn giá trị nhập vào là trung bình cộng của hai mút):
 
lưu vào E.
 

lưu vào F.
 

tự động lưu vào x.
 

lưu vào y.
 
lưu vào z.

Cuối cùng:

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).