BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Một bài toán về phép chia hết cho 2,3, 7 và cho số nguyên tố p.
- 04/12/2024
- 577 lượt xem
| Bài toán: Tìm số nguyên tố $p>3$ sao cho $A=3^p-2^p+2981$ chia hết cho $42p$. |
| Thực ra đây là một bài toán số học, không phải là một bài toán theo chủ đề của chúng ta (HSG MTCT THCS). Tuy nhiên để các thầy cô đội tuyển có tài liệu tham khảo, chúng ta sẽ trao đổi về bài toán này. |
$A=3^p-2^p+2981$ chia hết cho $42p$ nếu nó chia hết cho 2, cho 3, cho 7 và cho $p$.
Phần thuận: Ta xét việc chia hết cho $p$.
Vì $\text{gcd}(p,3)=1$ nên theo định lý Fermat nhỏ ta có: $$3^{\varphi(p)} \equiv 1\ \text{mod}\ p \Leftrightarrow 3^{p-1} \equiv 1 \ \text{mod}\ p \ \Rightarrow 3^p \equiv 3 \ \text{mod}\ p.$$
Tương tự $2^p \equiv 2 \ \text{mod} \ p$.
Do đó $A =3^p-2^p+2981 \equiv 3-2+2981\ \text{mod}\ p$.
$A \equiv 0\ \text{mod}\ p \Leftrightarrow 2982 \equiv 0\ \text{mod}\ p$, nghĩa là $p$ là ước số nguyên tố của $2982$.
$2982 =2\times 3\times 7\times 71$.
Do điều kiện $p>3$ nên $p=7$ hay $p=71$. Nếu $p=7$ ta có $\dfrac{3^7-2^7+2981}{42.7}=\dfrac{120}{7}$ nên $3^7-2^7+2981$ không chia hết cho $42.7$.
Do đó $p=71$.
Phần đảo: Kiểm tra được $3^{71}-2^{71}+2981$ chia hết cho $42.71=2982$.
Thật vậy, $3^{71} \equiv 2133 \ \text{mod} \ 2982$, $2^{71} \equiv 2132 \ \text{mod} \ 2982$ nên $3^{71}-2^{71}+2981 \equiv 2133-2132+2981\ \text{mod}\ 2982$. Vậy $3^{71}-2^{71}+2981 \equiv 0 \ \text{mod}\ 2982$, nghĩa là $3^{71}-2^{71}+2981$ chia hết cho $42.71$.
Vậy ĐS cần tìm là $p=71$.
About TS. Nguyễn Thái Sơn
