BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Tính tổng $\displaystyle \sum_{x=1}^{i}\dfrac{1}{ax^2+bx+c}, (i=100, 1000)$ và viết kết quả dưới dạng phân số.
- 06/12/2024
- 1,754 lượt xem
| Trong bài này ta chỉ xét $a=1$ và mẫu số phân tích ra thừa số $(x+m)(x+n)$. Trường hợp tổng quát khá phức tạp, dùng máy tính cầm tay sẽ không phát huy được tác dụng. |
| Trưởng hợp 1: $|m-n|=1$ |
Máy tính xuất ra kết quả là phân số tối giản.
Ví dụ 1. 
$(x^2+29x+210=(x+14)(x+15))$.
Ví dụ 2. 
$(x^2+11x+30=(x+5)(x+6))$.
| Trưởng hợp 2: $|m-n|=2$ |
Máy tính xuất ra số thập phân, ta chuyển kết quả ra phân số tối giản.
Ví dụ 3. 
lưu vào A.
$x^2+12x+35=(x+5)(x+7)$, $|m-n|=2$, thay $x=1, x=2$ vào $x+5$ và thay $x=99, x=100$ vào $x+7$ để tìm mẫu số của tổng.
Mẫu số sẽ bằng: 
Tử số sẽ bằng: 
Kiểm tra phân số tổi giản chưa: 
Vậy $$\displaystyle\sum_{x=1}^{100}\dfrac{1}{x^2+12x+35}=\dfrac{34625}{238182}. $$
Ví dụ 4. 
lưu vào A.
Mẫu số sẽ bằng: 
lưu vào B.
Tử số bằng: 
Kiểm tra phân số tối giản chưa: 
Do đó đơn giản tử và mẫu cho $2$ ta có: $$\sum_{x=1}^{1000}\dfrac{1}{x^2+12x+35}=\dfrac{1635625}{10636941}. $$
Bài tập tự luyện.
1) Tính tổng $\displaystyle \sum_{x=1}^{100}\dfrac{1}{x^2+4x+3}$. 
2) Tính tổng $\displaystyle \sum_{x=1}^{1000}\dfrac{1}{x^2+4x+3}$.
Vậy $$\sum_{x=1}^{1000}\dfrac{1}{x^2+4x+3}=\dfrac{69625}{167501}$$
| Trưởng hợp 3: $|m-n|\geqslant 3$ |
Ví dụ 5. Tính tổng $\displaystyle \sum_{x=1}^{1000}\dfrac{1}{x^2+11x+28}$ ở đây $|m-n|=3$.
Có ngay 
lưu vào A.
Ta chuyển số thập phân này sang phân số. Mẫu số sẽ là BCNN của các số $5, 6, 7, 1005, 1006, 1007$ chia cho $|m-n|=3$ (lấy 3 mẫu số đầu tiên và ba mẫu số cuối cùng)
.
Khi đó tử số sẽ bằng 
Đơn giản tử và mẫu cho $10$ và nhận xét 
.
Vậy
$$\displaystyle \sum_{x=1}^{1000}\dfrac{1}{x^2+11x+28}=\dfrac{40111070}{237558349}$$
| Bây giờ ta xét lại bài toán (đã tính sai trước đây) Tính tổng $$T=\displaystyle \sum_{x=1}^{100}\dfrac{1}{x^2+9x+8}$$
Ở đây $x^2+9x+8=(x+1)(x+8), \quad |m-n|=7$. |
lưu vào A.
Mẫu số của T là BCNN của $108,107,106,105,104,103,102,2,3,4,5,6,7,8$.
Ta tìm BCNN của $108,107,106,105,104,102$ (không lấy $103$)
lưu vào B.
Ta thấy B chia hết cho $2,3,4,5,6,7,8$ nên B cũng là BCNN của $108,107,106,105,104,102, 2,3,4,5,6,7,8$.
Vậy mẫu số của T là $9474879960 \times 103=$ 
,
do đó tử số của T là $975912635880\times 103$ 
.
Vậy $T=\dfrac{230199147160}{975912635880}$, phân số này chưa tối giản vì tử và mẫu đều chia hết cho $40$.
Vậy $$T=\dfrac{5754978679}{24397815897}$$
Đối chiếu với Geogebra
About TS. Nguyễn Thái Sơn
