BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Nhận xét về bài toán tính tổng $\displaystyle \boldsymbol{ \sum_{x=2}^{2022}\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{(x+1)^2}}=\dfrac{8178987}{4046}}$
- 31/07/2025
- 470 lượt xem
| Đặt vấn đề. Trong bài Mẹo vặt chúng tôi đưa ra một phương pháp thủ công nhằm chuyển một số thập phân thành phân số tối giản bằng mẹo “trừ đi phần nguyên rồi nghịch đảo” để chuyển kết quả đã cho dưới dạng số thập phân thành phân số tối giản $\dfrac{8178987}{4046}$. Sau đó một bạn đọc đã phát hiện cách thức nói trên không áp dụng được cho máy tính Casio fx-580VNX. Nhiều bạn đọc khác đã giúp chúng tôi giải thích lý do tại sao. Thực ra ngay cả trên máy tính Casio fx-880BTG phép tính trung gian của bài toán đó nó hiển thị thành số hữu tỉ $505,25=\dfrac{2021}{4}$ nhưng trong bộ nhớ của nó máy tính vẫn nhớ 505,24999999999… ($\approx 505,25$) như ta thấy nó hiển thị trên Casio fx-580-VNX là $505,2443352$ (không xấp xỉ được thành $505,25$). Nếu vậy ta phải giải bài toán này như thế nào trên cả hai máy tính Casio fx-580VNX và trên Casio fx-880BTG? Ta chưa biết dụng ý của người ra đề (đây là kỳ thi HS giỏi giải toán trên máy tính) nên chúng tôi trình bày lời giải “truyền thống”. Lưu ý một lời giải như vậy không phù hợp với học lực lớp 9. |
Ta có $1+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{(x+1)^2}=\dfrac{(x+1)^2+x^2+x^2(x+1)^2}{x^2(x+1)^2}=\dfrac{1+2x(x+1)+[x(x+1)]^2}{x^2(x+1)^2}$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\ =\dfrac{[1+x(x+1)]^2}{[x(x+1)]^2}$
Vậy $\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{(x+1)^2}}=\dfrac{1+x(x+1)}{x(x+1)}=\boldsymbol{1+ \dfrac{1}{x(x+1)} =1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}}$
Bây giờ ta lấy tổng của 2021 số hạng $(x=2,3,\dots ,2022)$ thì tổng của 2021 số 1 sẽ bằng 2021, tổng của 2021 cái hiệu sẽ triệt tiêu lẫn nhau trừ số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng, cụ thể là $\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2023}=\dfrac{2021}{4046}.$
Khi đó $\displaystyle \boldsymbol{ \sum_{x=2}^{2022}\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{(x+1)^2}}}=2021+\dfrac{2021}{4046}=\dfrac{2021\times 4047}{4046}=\boldsymbol{\dfrac{8178987}{4046}}$
About TS. Nguyễn Thái Sơn
