Toán THCS

Công thức. Cho tam giác $ABC$ biết độ dài cạnh $BC$, hai góc $\widehat{ABC} $ và $\widehat{ACB}$, Khi đó diện tích tam giác $ABC$ là: $$S=\dfrac{\dfrac12BC^2}{\dfrac{1}{\tan B}+\dfrac{1}{\tan C}}$$        a) Ta có: $\dfrac{BC}{\sin A}=2R $, suy ra $\widehat{BAC} =$ (lưu vào A).   Khi đó: $AB=\dfrac{BH}{\sin A}$ lưu vào B.   $AC=AH+HC=$ lưu …

Bài toán. Tìm dư của phép chia số $(a+\sqrt{b})^n+(a-\sqrt{b})^n$ cho $c$ ($a, b, c \in \mathbb{N^*}$). Áp dụng bằng số. Tìm dư của phép chia số $(3+\sqrt5)^{45}+(3-\sqrt5)^{45}$ cho $2026$.       Xét dãy số $u_n=(a+\sqrt{b})^n+(a-\sqrt{b})^n$. Ta có hệ thức quy nạp. $$\boldsymbol{u_n=Su_{n-1}-Pu_{n-2}}$$ với $S$ là tổng của hai cơ số (cụ thể là $2a$) …

Ta định nghĩa $$(2n-1)!!=1.3.5.7 \dots (2n-1)$$ Kết quả 3 chữ số cuối cùng của phép tính này có tính chất tuần hoàn với chu kỳ là 4 nên ta chỉ cần biết kết quả cho 13!! (chia cho 4 dư 1), 14!! (chia cho 4 dư 2),15!! (chia cho 4 dư 3),16!! (chia hết cho …

Định nghĩa Cho $n$ là một số tự nhiên. ta ký hiệu $(2n-1)!!=1\times 3\times 5\times 7\times \ \cdots \ \times (2n-1)$   Ta tìm 3 chữ số tận cùng của số $31!! =1\times 3\times 5\times 7\times \cdots \times 31$ ứng với $n=16$: lưu vào A.   Mở một bảng tính và chỉ sử dụng 34 …

Cho tam giác nhọn $ABC$ có cạnh $BC=5,4 \text{cm}$, trung tuyến $BM=3,8 \text{cm}$ đường cao $AH=2,7 \text{cm}$. Tính $AB, AC\ \text{và}\ OC$.   Ta có: $BC^2+BA^2=2BM^2+\dfrac{AC^2}{2} ⇔ BA^2=-\dfrac{7}{25}+\dfrac{AC^2}{2}\quad (1)$. Vì $H$ nằm trên đoạn $BC$ nên $BH+CH=BC ⇔ \sqrt{AB^2-2,7^2}+\sqrt{AC^2-2,7^2}=5,4^2\quad (2)$ Thay (1) và (2) ta có phương trình $\sqrt{-\dfrac{7}{25}+\dfrac{x^2}{2}-2,7^2}+\sqrt{x^2-2,7^2}=5,4$   Giải phương trình tìm $AC$: …

Lưu ý. Bài viết này dành cho giáo viên phụ trách đội tuyển để nâng cao trình độ chuyên môn, không dạy cho học sinh. Ngoài ra để bài toán không quá phức tạp ta chỉ xét khi $a^2-b=1$, ví dụ $(2+\sqrt3)^{2025}+(2-\sqrt3)^{2025}$, $(3+2\sqrt2)^{2026}+(3-2\sqrt2)^{2026}$ … và $c$ là số nguyên có liên quan đến năm thi …

Công thức. Cho tam giác $ABC$ biết độ dài cạnh $BC$, hai góc $\widehat{ABC} $ và $\widehat{ACB}$, Khi đó diện tích tam giác $ABC$ là: $$S=\dfrac{\dfrac12BC^2}{\dfrac{1}{\tan B}+\dfrac{1}{\tan C}}$$        a) Ta có: $\dfrac{BC}{\sin A}=2R $, suy ra $\widehat{BAC} =$ (lưu vào A).   Khi đó: $AB=\dfrac{BH}{\sin A}$ lưu vào B.   $AC=AH+HC=$ lưu …

Bài toán. Tìm dư của phép chia số $(a+\sqrt{b})^n+(a-\sqrt{b})^n$ cho $c$ ($a, b, c \in \mathbb{N^*}$). Áp dụng bằng số. Tìm dư của phép chia số $(3+\sqrt5)^{45}+(3-\sqrt5)^{45}$ cho $2026$.       Xét dãy số $u_n=(a+\sqrt{b})^n+(a-\sqrt{b})^n$. Ta có hệ thức quy nạp. $$\boldsymbol{u_n=Su_{n-1}-Pu_{n-2}}$$ với $S$ là tổng của hai cơ số (cụ thể là $2a$) …

Ta định nghĩa $$(2n-1)!!=1.3.5.7 \dots (2n-1)$$ Kết quả 3 chữ số cuối cùng của phép tính này có tính chất tuần hoàn với chu kỳ là 4 nên ta chỉ cần biết kết quả cho 13!! (chia cho 4 dư 1), 14!! (chia cho 4 dư 2),15!! (chia cho 4 dư 3),16!! (chia hết cho …

Định nghĩa Cho $n$ là một số tự nhiên. ta ký hiệu $(2n-1)!!=1\times 3\times 5\times 7\times \ \cdots \ \times (2n-1)$   Ta tìm 3 chữ số tận cùng của số $31!! =1\times 3\times 5\times 7\times \cdots \times 31$ ứng với $n=16$: lưu vào A.   Mở một bảng tính và chỉ sử dụng 34 …

Cho tam giác nhọn $ABC$ có cạnh $BC=5,4 \text{cm}$, trung tuyến $BM=3,8 \text{cm}$ đường cao $AH=2,7 \text{cm}$. Tính $AB, AC\ \text{và}\ OC$.   Ta có: $BC^2+BA^2=2BM^2+\dfrac{AC^2}{2} ⇔ BA^2=-\dfrac{7}{25}+\dfrac{AC^2}{2}\quad (1)$. Vì $H$ nằm trên đoạn $BC$ nên $BH+CH=BC ⇔ \sqrt{AB^2-2,7^2}+\sqrt{AC^2-2,7^2}=5,4^2\quad (2)$ Thay (1) và (2) ta có phương trình $\sqrt{-\dfrac{7}{25}+\dfrac{x^2}{2}-2,7^2}+\sqrt{x^2-2,7^2}=5,4$   Giải phương trình tìm $AC$: …

Lưu ý. Bài viết này dành cho giáo viên phụ trách đội tuyển để nâng cao trình độ chuyên môn, không dạy cho học sinh. Ngoài ra để bài toán không quá phức tạp ta chỉ xét khi $a^2-b=1$, ví dụ $(2+\sqrt3)^{2025}+(2-\sqrt3)^{2025}$, $(3+2\sqrt2)^{2026}+(3-2\sqrt2)^{2026}$ … và $c$ là số nguyên có liên quan đến năm thi …