BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Tìm dư của phép chia số $\boldsymbol{(2+\sqrt5)^n+(2-\sqrt5)^n}$ cho $\boldsymbol{m}$.
- 03/09/2025
- 743 lượt xem
| Xây dựng một Dãy số quy nạp: Đặt $u_n=(a+\sqrt{b})^n+(a-\sqrt{b})^n, \quad (a, b \in \mathbb{N^*})$. Ta gọi $S=a+\sqrt{b}+a-\sqrt{b}=2a$ là tổng của hai cơ số và $P=\left(a+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{b}\right)=a^2-b$ là tích của hai cơ số. Khi đó ta có dãy số quy nạp: $$u_1=2a, u_2= 2(a^2+b), \ u_n=Su_{n-1}-Pu_{n-2}, \quad n \geqslant 3.$$ |
Bài tập tham khảo (chú ý bài này chỉ là bài tập tham khảo, không chắc chắn nó là bài thi 2025 vì Ban giám khảo không có chủ trương đưa đề thi ra ngoài HĐ chấm thi).
 |
Ta xét dãy số quy nạp:
$u_1=4, u_2=18, u_n=4u_{n-1}+u_{n-2}$ (chú ý $S=4$ và $P=-1$ lần lượt là tổng và tích của các cơ số.)
Ta muốn tìm dư của phép chia $u_n$ cho $24$.
Ta có:
$u_1=4 \equiv 4\ (\text{mod}\ 24 )$ 
$u_2=18 \equiv 18\ (\text{mod}\ 24 )$ 
Từ $u_3$ đến $u_8$
Sau đó giá trị $u_n \ (\text{mod}\ 24)$ được lặp lại một cách tuần hoàn với chu kỳ 8:
Vì $2025 \equiv 1 \ (\text{mod} 8)$ nên $u_{2025} \equiv u_1\ (\text{mod}\ 24)$, nghĩa là:
dư của phép chia số $(2+\sqrt5)^{2025}+(2-\sqrt5)^{2025}$ cho $24$ là $4$.
Chia sẻ
About TS. Nguyễn Thái Sơn
