BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Định lý phần dư Trung Hoa cho đa thức
- 07/08/2025
- 486 lượt xem
| Bài toán. Cho hai tam thức bậc hai $p(x)$ và $q(x)$ nguyên tố cùng nhau và $f(x), g(x)$ là hai nhị thức bậc nhất. Tìm đa thức bậc bốn $P(x)$ sao cho $$\left\lbrace\begin{array}{ll}P(x)\equiv f(x) & (\text{mod}\ p(x))\\ P(x)\equiv g(x) & (\text{mod}\ q(x)) \end{array} \right. $$ |
| Lưu ý: Trong khuôn khổ lớp 9, hai tam thức bậc hai không có nhân tử chung sẽ là hai tam thức bậc hai nguyên tố cùng nhau. |
Ta tìm một đa thức $R(x)$ có bậc nhỏ hơn 4 sao cho $\left\lbrace\begin{array}{ll}R(x)\equiv f(x) & (\text{mod}\ p(x))\\
R(x)\equiv g(x) & (\text{mod}\ q(x))
\end{array} \right. $
Nghĩa là $R(x)=p(x)(ax+b)+f(x)=q(x)(cx+d)+g(x)\ \forall x$.
Đồng nhất hệ số ta tìm được $a, b, c, d$. Khi đó $R(x)=p(x)(ax+b)+ f(x)$.
Sau đó theo định lý phần dư Trung Hoa cho đa thức, $P(x)$ được xác định như sau: $$P(x)=R(x)+k.p(x).q(x), $$ trong đó $k$ được hoàn toàn xác định khi đề bài cho thêm giả thiết ví dụ nếu biết $P(m)$ thì $k=\dfrac{P(m)-R(m)}{p(m)q(m)}$.
| Bài tập 1. |
 |
Ta có $x^2-1$ và $x^2+2$ nguyên tố cùng nhau nên có thể áp dụng định lý phần dư Trung Hoa cho đa thức.
Ta tìm một đa thức $R(x)$ có bậc nhỏ hơn 4 sao cho $\left\lbrace\begin{array}{ll}R(x)\equiv 0 & (\text{mod}\ x^2-1)\\
R(x)\equiv 3x-1971 & (\text{mod}\ x^2+2)
\end{array} \right. $
$R(x)=(x^2-1)(ax+b) = (x^2+2)(cx+d)+3x-1971\ \forall x$.
Đồng nhất hệ số ta có $\left\lbrace\begin{array}{ll}a&=c\\
b&=d\\
-a&=2c+3\\
-b&=2d-1971\end{array} \right. $. Bấm máy tính giải hệ 4 phương trình ta có: $\left\lbrace\begin{array}{ll}a&=-1\\
b&=657\\
c&=-1\\
d&=657\end{array} \right. $
Vậy $R(x)=(x^2-1)(-x+657)$.
$P(x)=R(x)+k(x^2-1)(x^2+2)$ với $k=\dfrac{P(2)-R(2)}{(2^2-1)(2^2+2)} =$ 
About TS. Nguyễn Thái Sơn
