BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Giải bài thi HSG MTCT THPT TP HCM năm 2025 (tt)
- 04/08/2025
- 1,976 lượt xem
| Bài 2. Tính gần đúng (chính xác đến 4 chữ số thập phân sau dấu phẩy) giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $$f(x)=\dfrac{1,4x-5,3}{3,7x^2+0,2x+\sqrt3}$$ |
Bấm phím $\fbox{Function}$ để gán hai hàm số vào biến nhớ:
Bấm $\fbox{HOME}\ \fbox{Equation} \ \fbox{Sover}$ để mở màn hình Giải phương trình. Ta nhập phương trình vào rồi ra lệnh giải phương trình, chấp nhận giá trị nhập vào $x=0$ 
lưu nghiệm vào A.
Bấm $\fbox{OK}$ điều chỉnh phương trình thành $\dfrac{g(x)}{x-A}$ rồi ra lệnh giải phương trình, chấp nhận giá trị nhập vào $x=0$ 
, lưu nghiệm vào B.
Bấm $\fbox{HOME}$ để ra môi trường Phép tính thông thường nhập 
.
Vậy GTLN cùa hàm số là $0,0246$ và Vậy GTNN cùa hàm số là $-3,1112$.
| Bài 3. Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình sau trên đoạn $[100;200]$ (chính xác đến 2 chữ số thập phân sau dấu phẩy): $$2\sin^2x+\sin 3x=1$$ |
$2\sin^2x+\sin 3x=1 ⇔ -4\sin^3x+2\sin^2x+3\sin x-1=0$
Ba nghiệm này đều nhận. Lưu $x_1$ vào $A$, $x_3$ vào $B$.
| $\sin x= A ⇔ \left[\begin{array}{ll}x=\arcsin A + k2\pi\\ x=\pi- \arcsin A + k2\pi \end{array} \right. $ hình bên phải xác định $k$ sao cho $100\leqslant \arcsin A +k2\pi \leqslant 200$ và $100\leqslant \pi – \arcsin A +k2\pi \leqslant 200$. |
  |
| $\sin x= B ⇔ \left[\begin{array}{ll}x=\arcsin B + k2\pi\\ x=\pi- \arcsin B + k2\pi \end{array} \right. $ |
  |
| $\sin x= 1 ⇔ x=\dfrac{\pi}{2} + k2\pi $ |
 |
Ta thấy tất cả các nghiệm đều có $k$ thỏa điều kiện $16\leqslant k \leqslant 31$ trừ nghiệm $x=\arcsin A +k 2\pi$ với $17\leqslant k\leqslant 31$. Do đó ta vẫn cho $16\leqslant k \leqslant 31$ và loại đi nghiệm ứng với $k=16$.
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình trên đoạn $[100;200]$ là 
| Bài 4. Cho đa thức bậc bốn $P(x)$ thoả các điều kiện: $P(x)$ chia cho $x^2 +1$ dư $2x −1$, $P(x)$ chia cho $x^2− x +1$ dư $3x +1$ và $P(1) = 7$. Tính $P(2015)$. |
Ta tìm đa thức bậc 4 $P(x)$ sao cho
$$\left\lbrace\begin{array}{ll}P(x)\equiv 2x-1 & (\text{mod}\ x^2+1)\\
P(x)\equiv 3x+1 & (\text{mod}\ x^2-x+1)\end{array} \right. $$
Vì $x^2+1$ và $x^2-x+1$ nguyên tố cùng nhau (không có nhân tử chung) nên theo định lý phần dư Trung Hoa cho đa thức tồn tại một đa thức $R(x)$ có bậc nhỏ hơn 4 sao cho $$\left\lbrace\begin{array}{ll}R(x)\equiv 2x-1 & (\text{mod}\ x^2+1)\\
R(x)\equiv 3x+1 & (\text{mod}\ x^2-x+1)\end{array} \right. $$
Khi đó $P(x) \equiv R(x)\ \Big(\text{mod}\ $ $\boldsymbol{M(x)}$ $\Big)$ với $M(x)=(x^2+1)(x^2-x+1)$.
Ta xác định $R(x)=(x^2+1)(ax+b)+2x-1 = (x^2-x+1)(cx+d)+3x+1$
$$ ⇔ ax^3+bx^2+(a+2)x+b-1=cx^3+(d-c)x^2+(c-d+3)x+d-1\quad \forall x.$$
Đồng nhất hệ số ta có $\left\lbrace\begin{array}{ll}a&=c\\ b&=d-c\\ a+2&=c-d+3\\ b-1&=d+1\end{array} \right. ⇔ \left\lbrace\begin{array}{l}a=-2 \\ b=3 \\ c=-2\\ d=1 \end{array} \right. $
Vì $P(x)$ bậc 4 và $P(x) \equiv R(x)\ (\text{mod}\ M(x))$ nên $P(x)=R(x)+kM(x)=(x^2+1)(-2x+3)+2x-1+k(x^2+1)(x^2-x+1))$. Do $P(1)=7$ nên $k=2$.
Vậy $P(x)=R(x)+2M(x) =(x^2+1)(-2x+3)+2x-1+2(x^2+1)(x^2-x+1)$
Bấm $\fbox{Function}$ gán $P(x) $vào biến nhớ $f(x)$:
Sau đó bấm $\fbox{HOME}$ ra màn hình Phép tính thông thường nhập 
.
Vậy $P(2015)=32938157105299$.
| Bài 5. Tính gần đúng (chính xác đến 4 chữ số thập phân sau dấu phẩy) diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol $x=\dfrac14(y+1)^2$ và đường tròn $x^2+y^2-4x-2y-4=0$. |
 |
Nói một cách chính xác thì ta muốn tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi hình tròn và “phần phía trong” của parabol. Ta chia đường tròn thành hai cung: $x=2+\sqrt{-y^2+2y+8}\quad (C_1)$ và Ta muốn tìm tung độ giao điểm của đường tròn và parabol. Xét phương trình $$\dfrac{1}{16}(y+1)^4+y^2-(y+1)^2-2y-4=0$$ $$\dfrac{1}{16}(y^4+4y^3+6y^2+4y+1)-4y-5=0$$ |
Phương trình bậc 4 này cho ta hai nghiệm lần lượt lưu vào B và A:
Diện tích hình phẳng 
| Bài 6: Tính gần đúng (chính xác đến 2 chữ số thập phân sau dấu phẩy) diện tích phần chung của hai đường tròn có phương trình $$2x^2+2y^2+14x-16y-18=0 \ ; \ 3x^2+3y^2-15x+18y+9=0$$ = |
Viết lại phương trình hai đường tròn $$x^2+y^2+7x-8y-9=0 \ ; \ x^2+y^2-5x+6y+3=0$$
Tâm $I_1\left(-\dfrac72;4\right)\ ; \ I_2\left(\dfrac52;-3\right)$. Khoảng cách giữa hai tâm lưu vào D 
Bán kính $R_1, R_2$ lần lượt lưu vào A và B 
Khoảng cách giữa hai tâm nhỏ hơn tổng và lớn hơn hiệu hai bán kính nên hai đường tròn này cắt nhau. Diện tích phần chung của hai đường tròn này cho bởi công thức:
$$S=R_1^2\arccos \left(\dfrac{d^2+R_1^2-R_2^2}{2dR_1}\right)+R_2^2\arccos \left(\dfrac{d^2+R_2^2-R_1^2}{2dR_2}\right)-\dfrac12\sqrt{4dR_1^2-(d^2+R_1^2-R_2^2)^2}$$
Tính ba thành phần của công thức lần lượt lưu vào x, y, z. Lưu ý đơn vị đo góc là radian.
.
Vậy Diện tích phần chung của hai hình tròn: 
About TS. Nguyễn Thái Sơn
