HSG Casio THPT

Phương pháp. Đặt $A_1$ là số hạng thứ nhất và $A_2$ là số hạng thứ hai.   Ta tìm số chữ số của mỗi số hạng và viết ra 10 chữ số đầu tiên của mỗi số hạng. Sau đó đặt phép tính cộng hai số hạng đó theo đúng vị trí của 10 chữ …

các bạn đặt ra câu hỏi: Khi tìm dư của phép chia số $u_n=(2+\sqrt5)^{n}+(2-\sqrt5)^{n}, \quad (n=2025)$ cho $24$ thì do $24$ khá bé nên sự tuần hoàn của các giá trị $u_n$ phát hiện dễ dàng. Bây giờ nếu giả sử không chia cho $24$ mà chia cho một số khá lớn, ví dụ chia …

Xây dựng một Dãy số quy nạp: Đặt $u_n=(a+\sqrt{b})^n+(a-\sqrt{b})^n, \quad (a, b \in \mathbb{N^*})$. Ta gọi $S=a+\sqrt{b}+a-\sqrt{b}=2a$ là tổng của hai cơ số và $P=\left(a+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{b}\right)=a^2-b$ là tích của hai cơ số. Khi đó ta có dãy số quy nạp: $$u_1=2a, u_2= 2(a^2+b), \ u_n=Su_{n-1}-Pu_{n-2}, \quad n \geqslant 3.$$   Bài tập tham khảo (chú ý …

Xét phương trình $a\cos^3x+b\cos^2x+c\cos x+d=0$. Giả sử phương trình bậc ba có 3 nghiệm $A, B, C$ (không bị loại), sắp thứ tự $\ C<B<A$. Trên đoạn $[0;2\pi]$ phương trình có 6 nghiệm (có tổng là $6\pi$) như trong hình. Nếu $C=-1$ thì 6 nghiệm suy biến thành 5 nghiệm và tổng thành $5\pi$.   …

Đặt vấn đề. Nhiều bài toán Hình học không gian được giải nhờ đưa vào một hệ trục tọa độ $Oxyz$ và việc tính toán dựa vào tọa độ Đề-các. Nếu trong mặt phẳng đáy chứa hệ trục tọa độ $Oxy$ thì bài toán sẽ không quá phức tạp (ví dụ, đáy là hình vuông, …

Cho tam giác $ABC$, ba đoạn $AM, BN, CP$ cắt nhau tại $I$. Ta định vị điểm $I$ bởi các tỉ số $u=\dfrac{BM}{BC}$, $v=\dfrac{CN}{CA}$. Theo định lý Ceva ta sẽ tính được tỉ số $k=\dfrac{AP}{AB}$ (nhưng không tính, vì kết quả phức tạp).     $AI=\dfrac{1-v}{1-v+uv}\sqrt{(1-u)AB^2+uAC^2-u(1-u)BC^2}$   $BI=\dfrac{u}{1-v+uv}\sqrt{(1-v)BC^2+vBA^2-v(1-v)AC^2}$   $$CI=\dfrac{1}{1-v+uv}\sqrt{uv(2uv-u-v+1)CA^2+(1-u)(1-v)(2uv-u-v+1)CB^2-uv(1-u)(1-v)AB^2}$$ Cả ba phân số đều …

Phương pháp. Đặt $A_1$ là số hạng thứ nhất và $A_2$ là số hạng thứ hai.   Ta tìm số chữ số của mỗi số hạng và viết ra 10 chữ số đầu tiên của mỗi số hạng. Sau đó đặt phép tính cộng hai số hạng đó theo đúng vị trí của 10 chữ …

các bạn đặt ra câu hỏi: Khi tìm dư của phép chia số $u_n=(2+\sqrt5)^{n}+(2-\sqrt5)^{n}, \quad (n=2025)$ cho $24$ thì do $24$ khá bé nên sự tuần hoàn của các giá trị $u_n$ phát hiện dễ dàng. Bây giờ nếu giả sử không chia cho $24$ mà chia cho một số khá lớn, ví dụ chia …

Xây dựng một Dãy số quy nạp: Đặt $u_n=(a+\sqrt{b})^n+(a-\sqrt{b})^n, \quad (a, b \in \mathbb{N^*})$. Ta gọi $S=a+\sqrt{b}+a-\sqrt{b}=2a$ là tổng của hai cơ số và $P=\left(a+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{b}\right)=a^2-b$ là tích của hai cơ số. Khi đó ta có dãy số quy nạp: $$u_1=2a, u_2= 2(a^2+b), \ u_n=Su_{n-1}-Pu_{n-2}, \quad n \geqslant 3.$$   Bài tập tham khảo (chú ý …

Xét phương trình $a\cos^3x+b\cos^2x+c\cos x+d=0$. Giả sử phương trình bậc ba có 3 nghiệm $A, B, C$ (không bị loại), sắp thứ tự $\ C<B<A$. Trên đoạn $[0;2\pi]$ phương trình có 6 nghiệm (có tổng là $6\pi$) như trong hình. Nếu $C=-1$ thì 6 nghiệm suy biến thành 5 nghiệm và tổng thành $5\pi$.   …

Đặt vấn đề. Nhiều bài toán Hình học không gian được giải nhờ đưa vào một hệ trục tọa độ $Oxyz$ và việc tính toán dựa vào tọa độ Đề-các. Nếu trong mặt phẳng đáy chứa hệ trục tọa độ $Oxy$ thì bài toán sẽ không quá phức tạp (ví dụ, đáy là hình vuông, …

Cho tam giác $ABC$, ba đoạn $AM, BN, CP$ cắt nhau tại $I$. Ta định vị điểm $I$ bởi các tỉ số $u=\dfrac{BM}{BC}$, $v=\dfrac{CN}{CA}$. Theo định lý Ceva ta sẽ tính được tỉ số $k=\dfrac{AP}{AB}$ (nhưng không tính, vì kết quả phức tạp).     $AI=\dfrac{1-v}{1-v+uv}\sqrt{(1-u)AB^2+uAC^2-u(1-u)BC^2}$   $BI=\dfrac{u}{1-v+uv}\sqrt{(1-v)BC^2+vBA^2-v(1-v)AC^2}$   $$CI=\dfrac{1}{1-v+uv}\sqrt{uv(2uv-u-v+1)CA^2+(1-u)(1-v)(2uv-u-v+1)CB^2-uv(1-u)(1-v)AB^2}$$ Cả ba phân số đều …