HSG Casio THPT

Đặt vấn đề. Nhiều bài toán Hình học không gian được giải nhờ đưa vào một hệ trục tọa độ $Oxyz$ và việc tính toán dựa vào tọa độ Đề-các. Nếu trong mặt phẳng đáy chứa hệ trục tọa độ $Oxy$ thì bài toán sẽ không quá phức tạp (ví dụ, đáy là hình vuông, …

Cho tam giác $ABC$, ba đoạn $AM, BN, CP$ cắt nhau tại $I$. Ta định vị điểm $I$ bởi các tỉ số $u=\dfrac{BM}{BC}$, $v=\dfrac{CN}{CA}$. Theo định lý Ceva ta sẽ tính được tỉ số $k=\dfrac{AP}{AB}$ (nhưng không tính, vì kết quả phức tạp).     $AI=\dfrac{1-v}{1-v+uv}\sqrt{(1-u)AB^2+uAC^2-u(1-u)BC^2}$   $BI=\dfrac{u}{1-v+uv}\sqrt{(1-v)BC^2+vBA^2-v(1-v)AC^2}$   $$CI=\dfrac{1}{1-v+uv}\sqrt{uv(2uv-u-v+1)CA^2+(1-u)(1-v)(2uv-u-v+1)CB^2-uv(1-u)(1-v)AB^2}$$ Cả ba phân số đều …

Đặt vấn đề. Bài toán tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian là bài toán cơ bản, thường gặp trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi Tốt nghiệp phổ thông và kỳ thi HSG MTCT bậc THPT.  

CÔNG THỨC Hai đường tròn cắt nhau tại 2 điểm lần lượt có bán kính $R_1, R_2$ và khoảng cách giữa hai tâm $d$. Khi đó phần chung của hai hình tròn sẽ có diện tích là: $$S=R_1^2A+R_2^2B-\dfrac{d^2}{\cot A+\cot B}$$   trong đó $A=\arccos \left(\dfrac{d^2+R_1^2-R_2^2}{2dR_1}\right); B= \arccos \left(\dfrac{d^2+R_2^2-R_1^2}{2dR_2}\right)$ (đo bằng radian).         …

Bài toán. Cho hai tam thức bậc hai $p(x)$ và $q(x)$ nguyên tố cùng nhau và $f(x), g(x)$ là hai nhị thức bậc nhất. Tìm đa thức bậc bốn $P(x)$ sao cho $$\left\lbrace\begin{array}{ll}P(x)\equiv f(x) & (\text{mod}\ p(x))\\ P(x)\equiv g(x) & (\text{mod}\ q(x)) \end{array} \right. $$   Lưu ý: Trong khuôn khổ lớp 9, hai tam …

Bài 7. Cho hình chóp $S.ABC$ sao cho $AB=AC=BC=1;SA= 2;SB=\sqrt2;SC=\sqrt3$. Tính (Chính xác đến 4 chữ số thập phân sau dấu phẩy): a) Thể tích khối chóp S.ABC b) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC     a) Sắp xếp 6 cạnh của tứ diện như sau: $\begin{array}{ccc}SA^2&SB^2&SC^2\\ BC^2&AC^2&AB^2 \end{array}$ $\begin{array}{ccc}4&2&3\\ 1&1&1 …

Đặt vấn đề. Nhiều bài toán Hình học không gian được giải nhờ đưa vào một hệ trục tọa độ $Oxyz$ và việc tính toán dựa vào tọa độ Đề-các. Nếu trong mặt phẳng đáy chứa hệ trục tọa độ $Oxy$ thì bài toán sẽ không quá phức tạp (ví dụ, đáy là hình vuông, …

Cho tam giác $ABC$, ba đoạn $AM, BN, CP$ cắt nhau tại $I$. Ta định vị điểm $I$ bởi các tỉ số $u=\dfrac{BM}{BC}$, $v=\dfrac{CN}{CA}$. Theo định lý Ceva ta sẽ tính được tỉ số $k=\dfrac{AP}{AB}$ (nhưng không tính, vì kết quả phức tạp).     $AI=\dfrac{1-v}{1-v+uv}\sqrt{(1-u)AB^2+uAC^2-u(1-u)BC^2}$   $BI=\dfrac{u}{1-v+uv}\sqrt{(1-v)BC^2+vBA^2-v(1-v)AC^2}$   $$CI=\dfrac{1}{1-v+uv}\sqrt{uv(2uv-u-v+1)CA^2+(1-u)(1-v)(2uv-u-v+1)CB^2-uv(1-u)(1-v)AB^2}$$ Cả ba phân số đều …

Đặt vấn đề. Bài toán tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian là bài toán cơ bản, thường gặp trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi Tốt nghiệp phổ thông và kỳ thi HSG MTCT bậc THPT.  

CÔNG THỨC Hai đường tròn cắt nhau tại 2 điểm lần lượt có bán kính $R_1, R_2$ và khoảng cách giữa hai tâm $d$. Khi đó phần chung của hai hình tròn sẽ có diện tích là: $$S=R_1^2A+R_2^2B-\dfrac{d^2}{\cot A+\cot B}$$   trong đó $A=\arccos \left(\dfrac{d^2+R_1^2-R_2^2}{2dR_1}\right); B= \arccos \left(\dfrac{d^2+R_2^2-R_1^2}{2dR_2}\right)$ (đo bằng radian).         …

Bài toán. Cho hai tam thức bậc hai $p(x)$ và $q(x)$ nguyên tố cùng nhau và $f(x), g(x)$ là hai nhị thức bậc nhất. Tìm đa thức bậc bốn $P(x)$ sao cho $$\left\lbrace\begin{array}{ll}P(x)\equiv f(x) & (\text{mod}\ p(x))\\ P(x)\equiv g(x) & (\text{mod}\ q(x)) \end{array} \right. $$   Lưu ý: Trong khuôn khổ lớp 9, hai tam …

Bài 7. Cho hình chóp $S.ABC$ sao cho $AB=AC=BC=1;SA= 2;SB=\sqrt2;SC=\sqrt3$. Tính (Chính xác đến 4 chữ số thập phân sau dấu phẩy): a) Thể tích khối chóp S.ABC b) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC     a) Sắp xếp 6 cạnh của tứ diện như sau: $\begin{array}{ccc}SA^2&SB^2&SC^2\\ BC^2&AC^2&AB^2 \end{array}$ $\begin{array}{ccc}4&2&3\\ 1&1&1 …